Técnicas de Conteo

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

En términos de fórmula

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido

a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

La Técnica de la Permutación

Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:

T D C D T C C D T

T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

n P r = n! 

	(n – r )!

Donde:

nPr es el número de permutaciones posible

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 

	(n – r )!		( 3 – 3 )!		1

Ejemplo:

Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

n P r = n! = 8! = 8! = 336 

	(n – r )!		( 8 – 3 )!		5!

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

Usando la fórmula:

n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

La Técnica de la Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

r! (n – r )!

Ejemplo:

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35 

	r! (n – r )!		3! ( 7 – 3 )!		3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Problemas

1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.

a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.

c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?

i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?

2.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.

a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.

d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.

e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.

g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos.

h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.

Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:

  • Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.

pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.

  • En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
  • Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.

pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.

  • PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
  • Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
  • Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.

  • Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.

pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.

pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.

  • Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
  • Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.

pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.

pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

  • Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
  • PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
  • Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

  • Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:

  • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

  • Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en Youtube.

2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

  • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
  • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
  • Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.

Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.