La resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes

Hasta este momento has visto tres métodos para resolver ecuaciones lineales en dos variables: gráfico, por sustitución y eliminación. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores.

La regla de Cramer

Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.

Determinantes 2 x 2

Si a,b,c y d son cuatro números reales, a la expresión

D = se le llama un determinante 2 x 2.

Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra.

D = = ad - bc

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es el determinante para la matriz siguiente ?

Observa el procedimiento para hallar

el determinante. 

  =  (3)(1) - (6)(−2) = 15

Resumes este proceso de la siguiente forma: primero se multiplican los números que quedan en la diagonal de izquierda arriba a derecha abajo. Luego a este resultado se le resta el producto de los números en la diagonal de izquierda abajo a derecha arriba.

La regla de Cramer es un proceso que te ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones y variables. Es un método que aplica los determinantes.

Veamos un ejemplo con todos sus pasos.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 

      3x - 2y =   4
       6x + y = 13

Hallas primero el determinante de los coeficientes de las variables. Lo llamas el determinante principal y lo nombras con una D.

D = = (3)(1) - (6)(−2) = 15

Observas que el determinante de la matriz de coeficientes nos dio 15. Continúas con el proceso. Observa el procedimiento para hallar el valor del determinante para la variable x.

Remplazas la columna de coeficientes de la variable x con los valores de las constantes. Observa a continuación el proceso:

Dx= = (4) (1) - (13) (−2) = 4 + 26 = 30

Para hallar el valor de x, divides el valor determinado Dx por el determinante principal D. Es decir, calculas

Ahora observa cómo hallas el valor de y.

Dy se calcula con el determinante

Dy = = (3)(13) - (6)(4) = 39 - 24 = 15. Fíjate que en este determinante cambias la segunda columna por las constantes.

Para hallar el valor de y divides el valor hallado para Dy por el determinante principal D. Es decir, calculas y = = = 1 .

Concluyes que la solución del sistema es (2,1). Esto significa que las dos rectas representadas por las ecuaciones originales se intersecan en el punto con coordenadas (2,1). Recuerda que si el sistema resulta en rectas que se intersecan lo llamas consistente.

Estudia ahora la forma general de la Regla de Cramer para dos ecuaciones con dos variables:

La solución para el sistema de ecuaciones

ax + by = s cx + dy = t

esta dada por

x = , y =

siempre que lo siguiente ocurra

D = = ad - bc ¹ 0

Finalmente, con la regla de Cramer se concluye que si 

 D ¹  0, entonces

x = , y = .

Por si tienes alguna duda sobre el proceso, es importante que estudies el ejemplo 1 de la página 710 de tu texto y resuelvas los siguientes sistemas aplicando este método.

Resuelve:

1. 1. −3x + 2y = −6 

 4x  - 5y  =    8

2. 2. 7x - 2y = 11 

         x + 3y  =   −5

 	 (Respuestas)

Práctica adicional: Página 712 del texto, ejercicios impares 1 al 11.

La Regla de Cramer aplicada a determinantes de matrices 3 x 3

Observa un sistema de ecuaciones lineales que consta de tres ecuaciones lineales y las variables x, y, z.

2x + y - z = 3 -x +2y +4z = −3 x - 2y - 3z = 4

Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es

D =

Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación:

D = =

=[(2)(2)(−3) + (1)(4)(1) +(−1)(−1)(−2)] - [ (1)(2)(−1)+(−2)(4)(2) + (−3)(−1)(1)]

Observa que se escribieron las primeras dos columnas a la derecha y se efectuaron seis multiplicaciones en diagonal, tres de arriba hacia abajo y tres de abajo hacia arriba.

= −10 + 15 = 5

D = 5

Sigues un procedimiento parecido para hallar el determinante en x, y, z. Recuerda que cada vez que vas a hallar un determinante, sustituyes la columna de coeficientes de la variable bajo estudio por las constantes. Estudia ahora este proceso aplicado para hallar el determinante en x.

Dx = =

= [(3)(2)(−3) + (1)(4)(4) + (−1)(−3)(−2)] - [(4)(2)(−1) + (−2)(4)(3) + (−3)(−3)(1)]

= [−18 +16 −6] - [−8 - 24 + 9]

= −8 - (−23)

Dx = 15

Dy = = 

      =   [(2)(−3)(−3) + (3)(4)(1) +(−1)(−1)(4)] - [(1)(−3)(−1)+(4)(4)(2)+

(−3)(−1)(3)] 

      =   [18 +12 + 4] - [3 + 32 + 9]

      =   34 - 44

Dy = −10

Dz = = 

      =  [(2)(2)(4) + (1)(−3)(1) + (3)(−1)(−2)] - [(1)(2)(3) + (−2)(−3)(2) +

(4)(−1)(1)] 

      =  [16 −3 +6]  -  [6 + 12 - 4]

      =  19  - 14

Dz = 5

En resumen: D = 5 , Dx = 15, Dy = −10, Dz = 5.

Para determinar los valores de las variables llevas a cabo el proceso siguiente:

x = = = 3

y = = = −2

z = = = 1

La solución de este sistema es (3,−2,1). Lo cual significa que las tres rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersecan en este punto.

En las páginas 711 y 712 del texto aparece el ejemplo 2 que puede ser de ayuda para entender los determinantes 3X3.

Una práctica en este momento sería de mucha ayuda, para determinar tu nivel de conocimiento de los determinantes 3×3.

Utiliza la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones:

1. x + y - z = 2 

       -x +2y +3z = −1
        x - 4y - 2z = −7

2. 3x + z = 4 

       -x +2y + 3z =   6
      2x +  y + 4z =  8

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pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

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pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

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pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

  • Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:

  • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.

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  • Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en Youtube.

2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

  • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
  • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
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Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.