Energía Magnética
Consideremos el problema de la bobina real (RL) por la que circula una corriente $I_0=\epsilon_b/R$. La energia que se disipa en el circuito desde t=0 hasta que la bobina se ‘descarga’ completamente es:
W = \int_0^{\infty} R I^2 dt = R I_0^2 \int_0^{\infty} e^{−2Rt/L} dt = L I_0^2/2
La energia disipada por el sistema debe haber estado almacenada en el, en otras palabras, una bobina puede ser usada para almacenar energia en forma de una corriente circulando por ella.
W_L = L I^2/2 = \Phi I/2 =
Como hemos visto ya, un sistema magnetico es capaz de almacenar energia, precisamente aquella energia necesaria para establecer las corrientes que dan lugar al campo magnetico $\vec B$. Es fácil argumentar en favor de una formula como LI2/2 para la energia. Veamos su generalizacion a mas de un circuito. Tomemos N=2 circuitos, con corrientes I1,I2.
* para llegar a la configuracion final (I1,I2), las corrientes deben cambiar desde cero hasta tales valores.
* supongamos que hacemos que las corrientes varien en la forma:
en que a(t) es una funcion que varia ‘lentamente’ desde a=0 (en t=0) hasta a=1 (en $ t=\infty $).
* al variar i1 e i2, se inducen fem’s $\epsilon_1$, $\epsilon_2 $ en ambos circuitos, $ \epsilon_1(t) = -\Phi_1 da/dt$, $\epsilon_2(t) = -\Phi_2da/dt $, en que $\Phi_1$, $\Phi_2$ son los valores finales de los flujos. -para hacer crecer la corrientes hay que efectuar trabajo contra las fem inducidas,
dW = - \sum_{j=1}^{N} \int_0^{\infty} \epsilon_j(t)i_j(t) dt = \sum_{j=1}^N \Phi_jI_j \int_0^1 ada. luego,
W = (\sum_{j=1}^N \Phi_j I_j) \int_0^1 a da = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \Phi_j I_j.
Tambien podemos escribir,
W = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N M_{jk} I_k I_j
donde se reemplazo el flujo Pi_j por
Pi_j = \sum_{k=1}^N M_{jk} I_k
Es posible demostrar que (recordar los coeficientes de potencial, en electrostatica):
W = \frac{1}{2\mu_0} \int \vec B^2 d^3r
Esto ultimo puede interpretartse diciendo que ‘la energia magnetica se almacena en el espacio, con una densidad que depende de la magnitud del campo magnetico’. Al igual que en electrostatica, consideraciones de energia permiten calcular fuerzas y torques sobre circuitos.