Notas del Libro de Cálculo del Profesor Lomelí

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4. Límites. 

     4.1 Idea intuitiva de límite

La idea de límite es central en el estudio del cálculo y ha sido usada en muy diversas formas a través de los siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y Cauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos en nuestros días.

Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo. Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2. 

     Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente

x | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.05 | 2.01

y | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999 | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999

Cuál es el “último” valor que toma “y” cuando “x” se acerca a 2 pero sin ser igual a 2. Si analizamos la función restringida al dominio x, el conjunto de imágenes es un conjunto acotado por el número 1, en efecto 1 es el supremo; sin embargo 1 no está en dicho conjunto. 

     Por la definición de supremo hay imágenes

arbitrariamente cerca de 1, lo que intuitivamente nos dice que cuando x está cerca de 2, f(x) debe estar cerca de 1. 

     Aquí podemos tener dos valores, uno al que está

tendiendo la variable x y otro al que se acerca f(x), el cual no siempre existe. 

     En general si f(x) está “arbitrariamente” cerca de L

cuando x está “suficientemente” cerca de a diremos que el límite de f(x) cuando x tiende al valor a es L, y se representa por: 

     lim f(x) = L
     x→a

     Ejemplo 4.1 Encuentre lim x2+2
                           x→1

     Solución.

     Si tabulamos con y = f(x) = x2+2 tenemos lo siguiente

x | 0 | 0.5 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 2 | 2.25 | 2.81 | 2.9095 | 2.9801 | 6 | 4.25 | 3.21 | 3.0201

Vemos intuitivamente que f(x) se acerca a 3 cuando x está cerca de 1, por lo que podemos suponer que el límite es 3. 

     Cómo se puede ver es difícil, en algunos casos, saber

cuál es el límite, ya que no existe el valor “más cercano” al punto a. Qué tantos valores debemos analizar para estar seguros de haber encontrado el límite? 

     Por ahora sólo haremos el análisis intuitivo y en la

siguiente sección se presentará una definición formal de límite que nos permitirá estar seguros de si un número es o no-límite de una función. 

     Ejemplo 4.2 Encuentre el límite cuando x tiende a 1 de

las siguientes funciones

i) f(x) = (x2−1)/(x-1)

ii) f(x) = [x]

iii) f(x) = 1/(x-1) 

     Solución.

i) Tabulando tenemos

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.01

Por lo que vemos que si x → 1 entonces los valores de la función tienden a 2.

ii)

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 1

De aquí, vemos que al tomar x valores cerca de 1, las imágenes no se acercan a un valor fijo ya que son 0 ó 1 para valores de x suficientemente cerca de 1, por lo tanto el límite no existe. iii)

x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | −1 | −2 | −10 | −20 | −100 | 1 | 2 | 10 | 100

En este caso vemos que cuando x está cerca de 1, los valores de las imágenes son arbitrariamente grandes, positivos o negativos, por lo que tampoco existe el límite. 

     Ejercicios.

     Encuentre los siguientes límites

1. lim [x-1/2]__________________ 8. lim (1-x2) 

  x→3/2                              x→1

2. lim [5x]____________________ 9. lim (6x+1) 

   x→2                              x→ −3

3. lim [x2]____________________ 10. lim (x+5) 

   x→2                                x→2

4. lim (x/3) 

  x→1/3

5. lim |x+1| 

  x→ −1

6. lim |2x-1| 

  x→1/2

7. lim |5x| + |x-2| 

   x→2

     4.2 Concepto de límite 

     Como ya vimos en la sección anterior la idea de límite

de una función significa que las imágenes f(x) están arbitrariamente cerca de un número L; pero, qué quiere decir arbitrariamente cerca? Ya sabemos que no existe el punto “más cerca” de L por lo que debemos de usar las propiedades y definiciones que vimos en el capítulo 2 acerca de los números para establecer la idea de que las imágenes f(x) están tan cerca como se desee. 

     Supongamos que deseamos saber si f(x) ﷓> L

cuando x ﷓> a, como f(x) debe estar arbitrariamente cerca de L, la diferencia f(x) ﷓ L debe ser muy pequeña, positiva o negativa, entonces |f(x)﷓L| debe ser cero o positivo y arbitrariamente pequeño, para que esto suceda debe ser menor que cualquier número positivo dado. 

     De la misma forma |x﷓a| debe ser pequeño y la

definición de límite se puede establecer formalmente. 

     Definición 4.1 El límite de f(x) cuando x tiende a un

valor a es L si para todo número e > 0 existe un d >0 tal que |f(x)﷓L| ‹ e cuando 0 < |x﷓a| < d. 

     Como ya habíamos mencionado se representa por

     lim f(x) = L   o por     f(x) ﷓> L cuando x ﷓> a.
     x﷓>a

     El hecho de que para todo e > 0 se cumpla la

desigualdad |f(x)﷓L| < e garantiza lo “arbitrariamente” cerca de L y el número d > 0 escogido apropiadamente garantiza lo “suficientemente” cerca de a al establecer 0 ‹ |x﷓a| < d. 

     Como |f(x)﷓L| < e es equivalente a  L﷓e < f(x) < L+e   y 
           |x﷓a|   < d    equivale a     a﷓d <  x  < a+d, podemos ver esto en una gráfica

     O sea que el límite de una función es L si las imágenes

están en el intervalo (L﷓e,L+e) cuando x está en el intervalo (x﷓d,x+d). Ver la figura anterior. Esta concepción es de particular importancia sobretodo cuando se usa para la continuidad de una función, incluso es aplicable a funciones de varias variables y es la esencia de dicho concepto desde el punto de vista topológico. 

     A continuación se ilustrará la forma de comprobar un

límite usando la definición. 

     Ejemplo 4.3 Demuestre que lim (2x﷓5) = 1
                               x﷓>3

     Solución: Debemos probar que para e > 0 dado existe un

valor d > 0 tal que 

                    0 ‹ |x﷓3| ‹ d =› |(2x﷓5)﷓1| < e

para comprobar esto usaremos el “método inverso”, o sea que trataremos de encontrar un camino del lado izquierdo de la implicación, llamado inicio para llegar a la meta o final (lado derecho), pero empezando por la meta hacia el inicio

|(2x﷓5)﷓1| < e 

    |2x﷓6| < e

    2|x﷓3| < e

     |x﷓3| < e/2

finalmente vemos que si tomamos d < e/2 es posible hacer los pasos en el sentido directo, o sea que 

     |x﷓3| < d      =›

     |x﷓3| < e/2    =›

    2|x﷓3| < e      =›

    |2x﷓6| < e      =›

|(2x﷓5)﷓1| < e @ 

     Este procedimiento ya lo habíamos mencionado como una

práctica de las propiedades de desigualdades, ver la última sección del capítulo 2. 

     En muchos casos cuando aplicamos el método “inverso”,

los pasos en el sentido directo no son exactamente los mismos y es necesario hacer algunos pasos auxiliares como en el siguiente caso. 

     Ejemplo 4.4 Demuestre que lim (x2﷓x+1) = 3
                               x﷓>2

     Solución. En este caso debemos de comprobar que para

cualquier e > 0 existe un d > 0 tal que

0 ‹ |x﷓2| ‹ d =› |(x2﷓x+1)﷓3| < e,

también empezamos por la meta

|(x2﷓x+1)﷓3| < e

|x2﷓x﷓2| < e

|(x﷓2)(x+1)| < e

|(x﷓2)||(x+1)| < e

aquí debemos hacer un paréntesis, ya que si despejamos |x﷓2| en el lado derecho no podría ser d ya que quedaría un término con la variable x y d debe depender exclusivamente de e; por lo tanto haremos el siguiente análisis:

Como x está cerca de 2 podemos suponer que d < 1, así que tenemos 

     1 < x < 3      =>

     2 < x+1 < 4    =>

     |x+1| < 4

si combinamos esto con lo anterior en nuestro proceso inverso, tenemos que

|(x﷓2)(x+1)| ‹ 4 |x﷓2|

por lo que si en lado derecho es menor que e, el lado izquierdo también lo será, y tenemos

4 |x﷓2| < e 

  |x﷓2| < e/4

finalmente, para comprobar en el sentido directo, sea d < 1, e/4 entonces 

       |x﷓2| < d    =›

       |x﷓2| < e/4  =›

     4 |x﷓2| < e

como d ‹ 1 se cumple que |x+1| < 4 por lo que 

  |x﷓2||x+1| ‹ 4 |x﷓2| < e    =›

|(x﷓2)(x+1)| < e =› 

    |x2﷓x﷓2| < e    =›

|(x2﷓x+1)﷓3| < e @ 

                                     1    1
     Ejemplo 4.5 Demuestre que  lim ﷓﷓﷓ = ﷓
                               x﷓>3 x+1   4

     Solución. Queremos comprobar que para e > 0  dado,

existe d > 0 tal que 

                    | 1    1|

0 ‹ |x﷓3| ‹ d =› |﷓﷓﷓ ﷓ ﷓| < e 

                    |x+1   4|

por el método inverso empezamos por 

   |  1    1 |
   | ﷓﷓﷓ ﷓ ﷓ | < e              =›
   | x+1   4 |

   | 4﷓(x+1) |
   | ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ | < e              =›
   |  4(x+1) |

      | 3﷓x  |
      | ﷓﷓﷓  | < e
      |4(x+1)|

ésta es una submeta y para llegar a ella debemos de empezar con valores de x cerca de 3, por lo que podemos suponer d<1, o sea

2 < x < 4 por lo que

3 < x+1 < 5, entonces

1/5 < 1/(x+1) < 1/3

regresamos a la submeta marcada anteriormente y vemos que 

      | 3﷓x  |   | 3﷓x |
      | ﷓﷓﷓  | ‹ | ﷓﷓﷓ |
      |4(x+1)|   | 12  |

por lo que para lograr la desigualdad de la submeta planteada es suficiente que 

       |3﷓x|
       ﷓﷓﷓﷓﷓ < e
        12

o sea que |3﷓x| < 12e

tomando d = 12e, esto coincide con la “salida” y podemos formular los pasos en sentido directo como sigue 

     Sea d < 1, 12e entonces

      |x﷓3| < 12e

       |3﷓x|
       ﷓﷓﷓﷓﷓ < e
        12

pero sabemos que d < 1 por lo que 1/(x+1) < 1/3, entonces 

      | 3﷓x  |   | 3﷓x |
      |﷓﷓﷓﷓﷓﷓| ‹ | ﷓﷓﷓ |
      |4(x+1)|   |  12 |

por lo que alcanzamos la submeta deseada 

      | 3﷓x  |
      |﷓﷓﷓﷓﷓﷓| < e
      |4(x+1)|

de aquí se sigue que 

    |4﷓(x+1)|
    |﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓| < e
    | 4(x+1)|

y finalmente 

    |  1    1 |
    | ﷓﷓﷓ ﷓ ﷓ | < e
    | x+1   4 |                                                 @

     La idea básica en este tipo de comprobaciones es poder

utilizar el método inverso; esto es, partir de la “salida” lo que se quiere demostrar. Al realizar los pasos a la inversa y llegar al valor que puede tener d no se ha terminado la demostración y si no se realizan los pasos en el sentido directo la comprobación no es correcta. 

     Ejemplo 4.6 Encuentre lim   5x+4 =3
                           x﷓>1


     Solución. Queremos comprobar que para e > 0  dado,

existe d > 0 tal que

0 ‹ |x﷓1| ‹ d =› | 5x+4 ﷓ 3| < e por el método inverso empezamos por

| 5x+4 ﷓ 3| < e, multiplicando por el conjugado tenemos

|( 5x+4 ﷓ 3)( 5x+4 + 3)| ‹ | 5x+4 + 3| e, o sea

|5x+4 ﷓ 9| ‹ | 5x+4 + 3| e, que es

5|x ﷓ 1| ‹ | 5x+4 + 3| e 

  5|x ﷓ 1|

﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < e | 5x+4 + 3|

ésta es una submeta y para llegar a ella debemos de empezar con valores de x cerca de 1, por lo que podemos suponer d<1, o sea

0 < x < 2 por lo que

0 < 5x < 10, esto implica

4 < 5x+4 < 14 =>

2 < 5x+4 < 14 =>

5 < 5x+4 + 3 < 7, pues 14 < 16 = 4, de aquí 

     1        1

﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < ﷓ 

  5x+4 + 3    5

regresamos a la submeta marcada anteriormente y vemos que 

          5|x﷓1|     5|x﷓1|
        ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓  ‹ ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = |x﷓1|
         5x+4 + 3      5

por lo que para lograr la desigualdad de la submeta planteada es suficiente que 

        |x﷓1| < e

tomando d = e, esto coincide con la “salida” y podemos formular los pasos en sentido directo como sigue 

     Sea d < 1, e entonces

      |x﷓1| < e

     5|x﷓1|
     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < e
        5

como d < 1 tenemos 

             1       1
        ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < ﷓
         5x+4 + 3    5,       entonces


          5|x﷓1|     5|x﷓1|
        ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓  < ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < e
         5x+4 + 3      5

por lo que alcanzamos la submeta deseada, de aquí es posible realizar los pasos del principio en sentido inverso hasta llegar a la desigualdad

| 5x+4 ﷓ 3| < e, con lo que queda demostrado. @ 

     Ejercicios.

     Compruebe los siguientes límites en base a la definición.

1. lim (2x+1) = 7 8. lim (2x﷓4×2) = ﷓6 

   x﷓>3                              x﷓>﷓1

2. lim (4x+2) = ﷓2 9. lim 1/(x﷓2) = 1/3 

  x﷓>﷓1                               x﷓>5

3. lim (5﷓x) = 3 10. lim 4/(5﷓2x) = 4/3 

   x﷓>2                               x﷓>1

4. lim (2﷓3x) = 8 11. lim 2/(x+5) = 1/2 

  x﷓>﷓2                              x﷓>﷓1

5. lim (x2+5) = 6 12. lim 5/(1﷓2x) = 1 

   x﷓>1                              x﷓>﷓2

6. lim (x2﷓x+3) = 5 13. lim x = 2 

   x﷓>2                               x﷓>4

7. lim (3×2+x﷓1) = 3 14. lim 6﷓x = 3 

  x﷓>﷓1                              x﷓>﷓3

15. Demuestre que si una función tiene límite cuando x﷓>a, entonces el límite es único.

16. Demuestre que si f(x) ﷓> L cuando x﷓>a, entonces [f(x)﷓L]﷓>0 cuando x﷓>a.

17. Construya una función que tenga límite en todos los números reales excepto en 0. 

     4.4 Límites laterales

     Una parte importante en el tema de límites ocurre

cuando la función se acerca a determinado valor al tomar valores de la variable mayores de un punto, pero no al tomar valores menores; como sucede en el siguiente ejemplo. 

     Ejemplo 4.13 Analice el lim f(x) = [x]
                             x﷓>2

     Solución.

Como ya sabemos, el límite no existe. Sin embargo si analizamos valores de x mayores de 2 y tabulamos tenemos:

x | 2 | 2.9 | 2.5 | 2.3 | 2.1 | 2.05 | 2.01 | 2.001 | 2.0001 ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ y | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2

Y si tomamos valores de x cerca de 2 pero menores tenemos que la función es 1. Esto nos da la idea de poder extender el concepto de límite a casos como éste, diremos que el límite “por la derecha” existe y se representa por lim[x]=2. 

                               x﷓>2+

     Definición 4.2 El límite de f(x) cuando x tiende a un

valor a por la derecha es L si para todo número e > 0 existe un d >0 tal que |f(x)﷓L| < e cuando a < x < a + d. Se llama límite lateral por la derecha y se representa por: 

  lim f(x) = L  o por   f(x) ﷓> L cuando  x﷓>a+

x﷓>a+ 

     De manera semejante se define lim f(x) = L
                                  x﷓>a﷓

cambiando la condición suficiente a < x < a+d por la condición a﷓d < x < a. 

      Como una primera conclusión podemos ver que si el

límite de una función existe en un punto, entonces existen los dos límites laterales; y en general tenemos: 

     Teorema 4.7

lim f(x) = L si y sólo si lim f(x) = L y lim f(x) = L x﷓>a x﷓>a+ x﷓>a﷓ 

     Demostración. Obvio.                                      @


     Ejemplo 4.14 Encuentre lim f(x) y lim f(x)
                           x﷓>2+      x﷓>3﷓

f(x) = |2x﷓4| + |3﷓x| 

     Solución.

Vemos que la función se puede representar como 

          7﷓3x  si x 2

f(x) = x﷓1 si 2 < x < 3 

          3x﷓7  si x > 3

entonces lim f(x) = 1 y lim f(x) = 2 

        x﷓>2+            x﷓>3﷓                                  @


     Notamos que en el problema anterior 

 lim f(x) = 1 y lim f(x) = 2,

x﷓>2﷓ x﷓>3+

Por lo que el límite de la función existe en x = 2 y en x = 3 debido al teorema anterior. En efecto, el límite de la función f existe en cualquier punto, ya que en los demás puntos es un polinomio. 

     Ejemplo 4.15 Encuentre lim [2x﷓1]
                          x﷓>3/2

     Solución.

Vemos que para valores cerca de 3/2 por la derecha [2x﷓1] = 2 y para valores cercanos por la izquierda [2x﷓1] = 1 por lo tanto el límite no existe, sin embargo 

   lim [2x﷓1] = 2                lim [2x﷓1] = 1

x﷓>(3/2)+ x﷓>(3/2)﷓ 

                                                    5x+1, x < 2
     Ejemplo 4.16 Encuentre los límites de f(x) =   x2,2×3

en x = 2 y en x = 3. 3﷓x, x > 3 

     Solución.

     Como la función está definida por tres fórmulas y

precisamente en 2 y 3 cambia de fórmula, analizaremos los límites laterales primeramente. 

 lim f(x) = lim (5x+1) = lim (5x+1) = 11

x﷓>2﷓ x﷓>2﷓ x﷓>2 

 lim f(x) = lim x2 = lim x2 = 4

x﷓>2+ x﷓>2+ x﷓>2 

 lim f(x) = lim x2 = lim x2 = 9

x﷓>3﷓ x﷓>3﷓ x﷓>3 

 lim f(x) = lim (3﷓x) = lim (3﷓x) = 0

x﷓>3+ x﷓>3+ x﷓>3

Por lo tanto, lim f(x) y lim f(x) no existen. 

              x﷓>2         x﷓>3

     Ejercicios.

     Calcule los límites laterales de las funciones.

siguientes en los puntos dados, indique cuando el límite existe.

1. f(x) = |5﷓2x|, x = 2

2. f(x) = [5x﷓1], x = 1/2, 1/5, 1, ﷓2/5

3. f(x) = [x/3], x = 2, 3, 4, 6.

4. f(x) = [ x], x = 1, 4, 5, 9

5. f(x) = |7x﷓3| + |2﷓x|, x = 2, x = 3/7

6. f(x) = |x+1| ﷓ [x], x = 1, 2, 3

7. f(x) = [x2+3], x = ﷓2, 0, 1, 2 

            3x+2, x1

8. f(x) = 5 1<x<3 x = 1, 3, 4 

            6﷓2x , x>3

            x2﷓1, x< 1

9. f(x) = 6x﷓1, 1×4 x = 1,4 

            x2+9, x>4

10. f(x) = 3x﷓1, x = 1/3 

           |x﷓1|

11. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓, x=1 

            x﷓1

           |2x﷓3|

12. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓, x = 3/2 

           [2x﷓3]


     [+4.5 Límites infinitos y límites al infinito]

     En muchos casos se puede ver que el límite no existe

pues la función toma valores arbitrariamente grandes positivos o negativos. Estos límites aunque “no existan” son de mucha utilidad para el análisis de funciones, por lo que consideraremos éstos como límites especiales, llamados límites infinitos. 

     Definición 4.3 Sea f una función real definida cerca de

un punto a, decimos que f(x) tiende a infinito, f(x) ﷓> oo, cuando x﷓>a si para todo número N > 0 dado, existe un d > 0 tal que

0 ‹ |x﷓a| < d =› f(x) > N, y se representa:

lim f(x) = oo o también f(x) ﷓> oo cuando x ﷓> a. x﷓>a 

     La definición para lim f(x) = ﷓oo es similar.
                        x﷓>a

     Teorema 4.8 Sean f, g dos funciones definidas en un

intervalo de a. Si f(x) ﷓> C =/ 0, g(x) ﷓> 0 cuando x ﷓> a entonces 

         f(x)       oo, si f(x)/g(x) > 0, cerca de a
   lim   ﷓﷓﷓﷓ =
   x﷓>a  g(x)      ﷓oo, si f(x)/g(x) < 0, cerca de a

     Demostración.

Sea C > 0, para C negativo la prueba es similar,

Si f(x)/g(x) > 0, como cerca de a la función f toma valores positivos, digamos entre C/2 y 3C/2 (por qué?), entonces cerca de a g(x) es positiva. 

                                              C
     Sea N > 0 un número dado, y tomemos e = ﷓﷓ > 0,
                                             2N

como g(x) ﷓> 0 existe un d > 0 tal que g(x) < e, combinando

C 3C 1 2N ﷓ < f(x) < ﷓﷓, con ﷓﷓﷓﷓ > ﷓﷓ ; (justifique este paso), 2 2 g(x) C 

         f(x)                               f(x)

Tenemos ﷓﷓﷓﷓ > N, por lo que se cumple lim ﷓﷓﷓﷓ = oo. 

         g(x)                          x﷓>a g(x)                @


     Ejemplo 4.17 Analice los siguientes límites

i) lim 1/(x﷓1)2 

   x﷓>1

ii) lim 1/(x+3) 

   x﷓>﷓3

     Solución.

i) Si x ﷓> 1 vemos que 1/(x﷓1)2 crece arbitrariamente pues (x﷓1)2 tiende a cero y el numerador a 1. Además el cociente siempre es positivo, y podemos usar el teorema 4.8. Tenemos por lo tanto

lim 1/(x﷓1)2 = oo x﷓>1

ii) Este caso es similar al anterior pues x+3 tiende a cero, pero el cociente cambia de signo cuando x ﷓> ﷓3, por lo que no podemos aplicar el teorema 4.8, si damos valores de x cercanos a ﷓3 vemos que el límite no existe. 

     En (ii) del ejemplo anterior, aunque el límite no

existe podemos aplicar la idea de la sección anterior y analizar los límites laterales; en este caso vemos que f(x) crece arbitrariamente si x tiende a ﷓3 por la derecha. También vemos que f(x) toma valores negativos arbitrariamente grandes si x tiende a ﷓3 por la izquierda. Esto lo podemos expresar: 

 lim f(x) = oo   y    lim f(x) = ﷓oo

x﷓>﷓3+ x﷓>﷓3﷓ 

     Definición 4.4 Sea f una función definida en puntos

cercanos de a, decimos que f(x) tiende a oo cuando x tiende a por la derecha si para cualquier N > 0, existe un d > 0 tal que a < x < a + d, xa => f(x) > N; y se representa lim f(x) = oo 

                                                    x﷓>a+

     Los límites lim f(x) = oo, lim f(x) = ﷓oo,

lim f(x) = ﷓oo 

                x﷓>a﷓          x﷓>a+           x﷓>a﷓

se definen en forma similar. 

     Ejemplo 4.18 Analice la función  f(x) = 1/x cuando x ﷓> 0

     Solución.

Como el numerador tiende a 1 y el denominador a 0, basta analizar el signo del denominador. Cuando x ﷓> 0+ el denominador es positivo y cuando x ﷓> 0﷓ el denominador es negativo, por lo que 

 lim 1/x = oo   y   lim 1/x = ﷓oo

x﷓>0+ x﷓>0﷓ 

     En casos como en el anterior en que la función tiende a

oo ó a ﷓oo por la derecha o por la izquierda cuando x ﷓> a decimos que f tiene una asíntota vertical en x = a. En el ejemplo anterior x = 0 o sea el eje y es una asíntota vertical de la función. 

     Así como la función puede crecer arbitrariamente

positiva o negativamente, también podemos analizar los casos en los que la variable tienda a oo ó a ﷓oo. 

     Definición 4.5 Sea f una función definida para todos

los valores mayores que cierto número dado. El límite de la función f es L cuando x tiende a infinito, si para todo e > 0 existe un M > 0 tal que x > M => |f(x) ﷓ L| < e, y se representa 

               lim f(x) = L.
              x﷓>oo

     Para x tendiendo a ﷓oo la definición es similar

sustituyendo x > M por x < ﷓M, y se representa lim f(x) = L 

                                 x﷓>﷓oo


                                  x2
     Ejemplo 4.19 Encontrar lim  ﷓﷓﷓﷓
                           x﷓>oo x2+1

     Solución. Vemos que tanto el numerador como el

denominador crecen arbitrariamente por lo se realizarán pasos algebraicos para poder hacer el análisis 

                                  lim 1
       x2           1            x﷓>oo         1
 lim  ﷓﷓﷓﷓ = lim  ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = ﷓﷓﷓ = 1

x﷓>oo x2+1 x﷓>oo 1+1/x2 lim 1 + lim 1/x2 1+0 

                          x﷓>oo   x﷓>oo

     En casos como el anterior, que la función tiende a un

límite L cuando x ﷓> oo ó a ﷓oo decimos que f tiene una asíntota horizontal en y = L. En el ejemplo anterior y = 1 es una asíntota horizontal. 

     Vemos en el ejemplo anterior que es posible que tanto

la función como la variable tiendan a infinito, y estos casos son de mucha utilidad para saber el comportamiento de una función. 

     Definición 4.6 Sea f una función definida para todos

los valores mayores que cierto número dado. El límite de la función f es infinito cuando x tiende a infinito, si para todo N > 0 dado existe un M > 0 tal que x > M => f(x) > N, y se representa 

               lim f(x) = oo
              x﷓>oo

     Para x tendiendo a ﷓oo la definición es similar

sustituyendo x > M por x < ﷓M, y se representa lim f(x) = oo 

                                 x﷓>﷓oo

     También se pueden definir los casos en que la función

tienda a ﷓oo. 

     Teorema 4.9 (Funciones especiales)

i) lim x = oo 

  x﷓>oo

ii) lim xn = oo, si n es un entero positivo 

   x﷓>oo

iii) lim x = oo 

    x﷓>oo

iv) lim |x| =oo 

   x﷓>oo


     Demostración. Ejercicio.                                  @



     Teorema 4.10  Sean f, g dos funciones definidas en un

intervalo de a. Si f(x) ﷓> C, g(x) ﷓> oo cuando x ﷓> a entonces 

         f(x)
   lim   ﷓﷓﷓﷓ = 0
   x﷓>a  g(x)


     Demostración. Se deja como ejercicio.                     @


     En el teorema anterior, si en lugar de a consideramos

oo el teorema sigue siendo válido. 

     Cuando analizamos límites infinitos es común

encontrarnos con cocientes donde tanto el numerador como el denominador tienden a oo ó a ﷓oo; casos como éstos, como ya lo vimos en el ejemplo anterior pueden tener un límite y se llaman indeterminaciones de la forma oo/oo.Un problema muy importante del Cálculo es poder encontrar el límite de una indeterminación cuando éste existe, y a lo largo del curso se le dedican varios temas para este problema. 

     Nota 4.2 Recordemos que en la sección 4.3 se vieron

indeterminaciones de la forma 0/0, también se pueden presentar casos como 0 . oo ó de la forma oo ﷓ oo las cuales también son indeterminaciones. 

     Ejemplo 4.20 Encuentre los siguientes límites, si

existen 

        2×3+5x﷓1

i) lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>oo 3×3+6x+2

         x2+6x﷓1

ii) lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

   x﷓>oo x3+1

          x2+4x﷓9

iii) lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

    x﷓>oo   x+1

     Solución.

i) Dividimos entre x3 como en el ejemplo 4.19 

        2×3+5x﷓1        2 + 5/x ﷓ 1/x2  2
   lim  ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = lim  ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = ﷓
  x﷓>oo 3×3+6x+2  x﷓>oo 3 + 6/x + 2/x2  3


         x2+6x﷓1        1 + 6/x ﷓ 1/x2

ii) lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = 0 

   x﷓>oo   x3+1   x﷓>oo   x + 1/x


          x2+4x﷓9       x + 4 ﷓ 9/x

iii) lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = oo 

    x﷓>oo   x+1    x﷓>oo  1 + 1/x


     Ejemplo 4.21 Encuentre los límites, si existen

i) lim ( x+1 ﷓ x) 

  x﷓>oo

ii) lim [x]/x 

   x﷓>oo

     Solución.

i) Este problema es una indeterminación de la forma oo ﷓ oo, para quitar la indeterminación multiplicamospor el binomio conjugado como se hacía en problemas de la sección 4.3 y tenemos 

     ( x+1 ﷓  x)( x+1 +  x)         x+1 ﷓ x             1
 lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = lim  ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = lim  ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ = 0

x﷓>oo x+1 + x x﷓>oo x+1 + x x﷓>oo x+1 + x

ii) Este caso es una indeterminación de la forma oo/oo, para este problema primero observamos que 

 lim (x﷓[x])/x = lim (x﷓[x])(1/x) = 0

x﷓>oo x﷓>oo pues 0 x ﷓ [x] 1, y podemos aplicar el teorema 4.6, entonces 

 lim [x]/x = lim (1 ﷓ (x﷓[x])/x) = 1 ﷓

lim (x﷓[x]) =1 x﷓>oo x﷓>oo x﷓>oo 

     Es de particular importancia hacer un análisis del

cociente: 

     f(x) 
 lim ﷓﷓﷓﷓, donde  lim f(x) = A, lim g(x) = B

x﷓>a g(x) x﷓>a x﷓>a

a, A, B pueden ser un número, oo ó ﷓oo. Los teoremas 4.8 y 4.10 presentan algunos casos especiales y los demás se dejan como un ejercicio. 

     Ejercicios.

     Encuentre los siguientes límites:

         1

1. lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>3 (3﷓x)2

        x+1

2. lim ﷓﷓﷓ 

  x﷓>2+ x﷓2

           3

3. lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>﷓1 x2+4x+3

        x3+2×2+1

4. lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>oo  5×3﷓2

         5×2﷓4

5. lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>oo x3+2x﷓1

         x5﷓8

6. lim ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

  x﷓>oo 2×3+5x

7. lim ( 5+x ﷓ x) 

  x﷓>oo

     Encuentre las asíntotas verticales de la función

           x2

8. f(x) = ﷓﷓﷓ 

          x﷓3

             1

9. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

          x2﷓x﷓6

             x+1

10. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

           x2+5x+4
               2

11. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

           x3﷓x2﷓12x

                   1

12. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

           (x﷓1)(2x﷓1)(3x+1)

     Las siguientes funciones tienen una asíntota

horizontal, diga cuál es. 

           x2+5x

13. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓ 

           5×2﷓1

             x

14. f(x) = ﷓﷓﷓﷓ 

           x3+1

           3×2+6x﷓1

15. f(x) = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ 

             x2+1

16. Defina lim f(x) = ﷓oo 

          x﷓>a

17. Defina lim f(x) = oo 

          x﷓>a﷓

18. Defina lim f(x) = ﷓oo 

          x﷓>oo

19. Haga un análisis completo del cociente: 

     f(x) 
 lim ﷓﷓﷓﷓, donde  lim f(x) = A,

lim g(x) = B x﷓>a g(x) x﷓>a x﷓>a

a, A, B pueden ser un número, oo ó ﷓oo.

20. Demuestre el teorema 4.8 si C < 0.

21. Demuestre el teorema 4.9.

22. Demuestre el teorema 4.10.


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