Notas del Libro de Cálculo del Profesor Lomelí
FALTA EDITAR
4. Límites.
4.1 Idea intuitiva de límite
La idea de límite es central en el estudio del cálculo
y ha sido usada en muy diversas formas a través de los
siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en
el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy
importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus
famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y
Cauchy que formalizó
en nuestros días.
Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.
Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y
analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2.
Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente
x | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.05 | 2.01
y | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999 | 0 | .75 | .99 | .9975 |
.9999
Cuál es el “último” valor que toma “y” cuando “x” se acerca
a 2 pero sin ser igual a 2. Si analizamos la función
restringida al dominio x, el conjunto de imágenes es un
conjunto acotado por el número 1, en efecto 1 es el supremo;
sin embargo 1 no está en dicho conjunto.
Por la definición de supremo hay imágenes
arbitrariamente cerca de 1, lo que intuitivamente nos dice
que cuando x está cerca de 2, f(x) debe estar cerca de 1.
Aquí podemos tener dos valores, uno al que está
tendiendo la variable x y otro al que se acerca f(x), el
cual no siempre existe.
En general si f(x) está “arbitrariamente” cerca de L
cuando x está “suficientemente” cerca de a diremos que el
límite de f(x) cuando x tiende al valor a es L, y se
representa por:
lim f(x) = L
x→a
Ejemplo 4.1 Encuentre lim x2+2
x→1
Solución.
Si tabulamos con y = f(x) = x2+2 tenemos lo siguiente
x | 0 | 0.5 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01
y | 2 | 2.25 | 2.81 | 2.9095 | 2.9801 | 6 | 4.25 | 3.21 | 3.0201
Vemos intuitivamente que f(x) se acerca a 3 cuando x está
cerca de 1, por lo que podemos suponer que el límite es 3.
Cómo se puede ver es difícil, en algunos casos, saber
cuál es el límite, ya que no existe el valor “más cercano”
al punto a. Qué tantos valores debemos analizar para estar
seguros de haber encontrado el límite?
Por ahora sólo haremos el análisis intuitivo y en la
siguiente sección se presentará una definición formal de
límite que nos permitirá estar seguros de si un número es o
no-límite de una función.
Ejemplo 4.2 Encuentre el límite cuando x tiende a 1 de
las siguientes funciones
i) f(x) = (x2−1)/(x-1)
ii) f(x) = [x]
iii) f(x) = 1/(x-1)
Solución.
i) Tabulando tenemos
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01
y | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.01
Por lo que vemos que si x → 1 entonces los valores
de la función tienden a 2.
ii)
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01
y | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 1
De aquí, vemos que al tomar x valores cerca de 1, las
imágenes no se acercan a un valor fijo ya que son 0 ó 1 para
valores de x suficientemente cerca de 1, por lo tanto el
límite no existe.
iii)
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01
y | −1 | −2 | −10 | −20 | −100 | 1 | 2 | 10 | 100
En este caso vemos que cuando x está cerca de 1, los valores
de las imágenes son arbitrariamente grandes, positivos o
negativos, por lo que tampoco existe el límite.
Ejercicios.
Encuentre los siguientes límites
1. lim [x-1/2]__________________ 8. lim (1-x2)
x→3/2 x→1
2. lim [5x]____________________ 9. lim (6x+1)
x→2 x→ −3
3. lim [x2]____________________ 10. lim (x+5)
x→2 x→2
4. lim (x/3)
x→1/3
5. lim |x+1|
x→ −1
6. lim |2x-1|
x→1/2
7. lim |5x| + |x-2|
x→2
4.2 Concepto de límite
Como ya vimos en la sección anterior la idea de límite
de una función significa que las imágenes f(x) están
arbitrariamente cerca de un número L; pero, qué quiere decir
arbitrariamente cerca? Ya sabemos que no existe el punto
“más cerca” de L por lo que debemos de usar las propiedades
y definiciones que vimos en el capítulo 2 acerca de los
números para establecer la idea de que las imágenes f(x)
están tan cerca como se desee.
Supongamos que deseamos saber si f(x) > L
cuando x > a, como f(x) debe estar arbitrariamente
cerca de L, la diferencia f(x) L debe ser muy
pequeña, positiva o negativa, entonces |f(x)L| debe
ser cero o positivo y arbitrariamente pequeño, para que esto
suceda debe ser menor que cualquier número positivo dado.
De la misma forma |xa| debe ser pequeño y la
definición de límite se puede establecer formalmente.
Definición 4.1 El límite de f(x) cuando x tiende a un
valor a es L si para todo número e > 0 existe un d >0 tal
que
|f(x)L| ‹ e cuando 0 < |xa| < d.
Como ya habíamos mencionado se representa por
lim f(x) = L o por f(x) > L cuando x > a.
x>a
El hecho de que para todo e > 0 se cumpla la
desigualdad |f(x)L| < e garantiza lo
“arbitrariamente” cerca de L y el número d > 0 escogido
apropiadamente garantiza lo “suficientemente” cerca de a al
establecer 0 ‹ |xa| < d.
Como |f(x)L| < e es equivalente a Le < f(x) < L+e y
|xa| < d equivale a ad < x < a+d, podemos ver esto en una gráfica
O sea que el límite de una función es L si las imágenes
están en el intervalo (Le,L+e) cuando x está en el
intervalo
(xd,x+d). Ver la figura anterior. Esta concepción es
de particular importancia sobretodo cuando se usa para la
continuidad de una función, incluso es aplicable a funciones
de varias variables y es la esencia de dicho concepto desde
el punto de vista topológico.
A continuación se ilustrará la forma de comprobar un
límite usando la definición.
Ejemplo 4.3 Demuestre que lim (2x5) = 1
x>3
Solución: Debemos probar que para e > 0 dado existe un
valor d > 0 tal que
0 ‹ |x3| ‹ d =› |(2x5)1| < e
para comprobar esto usaremos el “método inverso”, o sea que
trataremos de encontrar un camino del lado izquierdo de la
implicación, llamado inicio para llegar a la meta o final
(lado derecho), pero empezando por la meta hacia el inicio
|(2x5)1| < e
|2x6| < e
2|x3| < e
|x3| < e/2
finalmente vemos que si tomamos d < e/2 es posible hacer los
pasos en el sentido directo, o sea que
|x3| < d =›
|x3| < e/2 =›
2|x3| < e =›
|2x6| < e =›
|(2x5)1| < e @
Este procedimiento ya lo habíamos mencionado como una
práctica de las propiedades de desigualdades, ver la última
sección del capítulo 2.
En muchos casos cuando aplicamos el método “inverso”,
los pasos en el sentido directo no son exactamente los
mismos y es necesario hacer algunos pasos auxiliares como en
el siguiente caso.
Ejemplo 4.4 Demuestre que lim (x2x+1) = 3
x>2
Solución. En este caso debemos de comprobar que para
cualquier e > 0 existe un d > 0 tal que
0 ‹ |x2| ‹ d =› |(x2x+1)3| < e,
también empezamos por la meta
|(x2x+1)3| < e
|x2x2| < e
|(x2)(x+1)| < e
|(x2)||(x+1)| < e
aquí debemos hacer un paréntesis, ya que si despejamos
|x2| en el lado derecho no podría ser d ya que
quedaría un término con la variable x y d debe depender
exclusivamente de e; por lo tanto haremos el siguiente análisis:
Como x está cerca de 2 podemos suponer que d < 1, así que
tenemos
1 < x < 3 =>
2 < x+1 < 4 =>
|x+1| < 4
si combinamos esto con lo anterior en nuestro proceso
inverso, tenemos que
|(x2)(x+1)| ‹ 4 |x2|
por lo que si en lado derecho es menor que e, el lado
izquierdo también lo será, y tenemos
4 |x2| < e
|x2| < e/4
finalmente, para comprobar en el sentido directo, sea d <
1, e/4
entonces
|x2| < d =›
|x2| < e/4 =›
4 |x2| < e
como d ‹ 1 se cumple que |x+1| < 4 por lo que
|x2||x+1| ‹ 4 |x2| < e =›
|(x2)(x+1)| < e =›
|x2x2| < e =›
|(x2x+1)3| < e @
1 1
Ejemplo 4.5 Demuestre que lim =
x>3 x+1 4
Solución. Queremos comprobar que para e > 0 dado,
existe
d > 0 tal que
| 1 1|
0 ‹ |x3| ‹ d =› | | < e
|x+1 4|
por el método inverso empezamos por
| 1 1 |
| | < e =›
| x+1 4 |
| 4(x+1) |
| | < e =›
| 4(x+1) |
| 3x |
| | < e
|4(x+1)|
ésta es una submeta y para llegar a ella debemos de empezar
con valores de x cerca de 3, por lo que podemos suponer d<1,
o sea
2 < x < 4 por lo que
3 < x+1 < 5, entonces
1/5 < 1/(x+1) < 1/3
regresamos a la submeta marcada anteriormente y vemos que
| 3x | | 3x |
| | ‹ | |
|4(x+1)| | 12 |
por lo que para lograr la desigualdad de la submeta
planteada es suficiente que
|3x|
< e
12
o sea que |3x| < 12e
tomando d = 12e, esto coincide con la “salida” y podemos
formular los pasos en sentido directo como sigue
Sea d < 1, 12e entonces
|x3| < 12e
|3x|
< e
12
pero sabemos que d < 1 por lo que 1/(x+1) < 1/3, entonces
| 3x | | 3x |
|| ‹ | |
|4(x+1)| | 12 |
por lo que alcanzamos la submeta deseada
| 3x |
|| < e
|4(x+1)|
de aquí se sigue que
|4(x+1)|
|| < e
| 4(x+1)|
y finalmente
| 1 1 |
| | < e
| x+1 4 | @
La idea básica en este tipo de comprobaciones es poder
utilizar el método inverso; esto es, partir de la “salida”
lo que se quiere demostrar. Al realizar los pasos a la
inversa y llegar al valor que puede tener d no se ha
terminado la demostración y si no se realizan los pasos en
el sentido directo la comprobación no es correcta.
Ejemplo 4.6 Encuentre lim 5x+4 =3
x>1
Solución. Queremos comprobar que para e > 0 dado,
existe
d > 0 tal que
0 ‹ |x1| ‹ d =› | 5x+4 3| < e
por el método inverso empezamos por
| 5x+4 3| < e, multiplicando por el conjugado
tenemos
|( 5x+4 3)( 5x+4 + 3)| ‹ | 5x+4 + 3| e, o sea
|5x+4 9| ‹ | 5x+4 + 3| e, que es
5|x 1| ‹ | 5x+4 + 3| e
5|x 1|
< e
| 5x+4 + 3|
ésta es una submeta y para llegar a ella debemos de empezar
con valores de x cerca de 1, por lo que podemos suponer d<1,
o sea
0 < x < 2 por lo que
0 < 5x < 10, esto implica
4 < 5x+4 < 14 =>
2 < 5x+4 < 14 =>
5 < 5x+4 + 3 < 7, pues 14 < 16 = 4, de aquí
1 1
<
5x+4 + 3 5
regresamos a la submeta marcada anteriormente y vemos que
5|x1| 5|x1|
‹ = |x1|
5x+4 + 3 5
por lo que para lograr la desigualdad de la submeta
planteada es suficiente que
|x1| < e
tomando d = e, esto coincide con la “salida” y podemos
formular los pasos en sentido directo como sigue
Sea d < 1, e entonces
|x1| < e
5|x1|
< e
5
como d < 1 tenemos
1 1
<
5x+4 + 3 5, entonces
5|x1| 5|x1|
< < e
5x+4 + 3 5
por lo que alcanzamos la submeta deseada, de aquí es posible
realizar los pasos del principio en sentido inverso hasta
llegar a la desigualdad
| 5x+4 3| < e, con lo que queda demostrado. @
Ejercicios.
Compruebe los siguientes límites en base a la definición.
1. lim (2x+1) = 7 8. lim (2x4×2) = 6
x>3 x>1
2. lim (4x+2) = 2 9. lim 1/(x2) = 1/3
x>1 x>5
3. lim (5x) = 3 10. lim 4/(52x) = 4/3
x>2 x>1
4. lim (23x) = 8 11. lim 2/(x+5) = 1/2
x>2 x>1
5. lim (x2+5) = 6 12. lim 5/(12x) = 1
x>1 x>2
6. lim (x2x+3) = 5 13. lim x = 2
x>2 x>4
7. lim (3×2+x1) = 3 14. lim 6x = 3
x>1 x>3
15. Demuestre que si una función tiene límite cuando
x>a, entonces el límite es único.
16. Demuestre que si f(x) > L cuando x>a,
entonces [f(x)L]>0 cuando x>a.
17. Construya una función que tenga límite en todos los
números reales excepto en 0.
4.4 Límites laterales
Una parte importante en el tema de límites ocurre
cuando la función se acerca a determinado valor al tomar
valores de la variable mayores de un punto, pero no al tomar
valores menores; como sucede en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.13 Analice el lim f(x) = [x]
x>2
Solución.
Como ya sabemos, el límite no existe. Sin embargo si
analizamos valores de x mayores de 2 y tabulamos tenemos:
x | 2 | 2.9 | 2.5 | 2.3 | 2.1 | 2.05 | 2.01 | 2.001 | 2.0001
y | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2
Y si tomamos valores de x cerca de 2 pero menores tenemos
que la función es 1. Esto nos da la idea de poder extender
el concepto de límite a casos como éste, diremos que el
límite “por la derecha” existe y se representa por lim[x]=2.
x>2+
Definición 4.2 El límite de f(x) cuando x tiende a un
valor a por la derecha es L si para todo número e > 0 existe
un d >0 tal que |f(x)L| < e cuando a < x < a + d.
Se llama límite lateral por la derecha y se representa por:
lim f(x) = L o por f(x) > L cuando x>a+
x>a+
De manera semejante se define lim f(x) = L
x>a
cambiando la condición suficiente a < x < a+d por la
condición
ad < x < a.
Como una primera conclusión podemos ver que si el
límite de una función existe en un punto, entonces existen
los dos límites laterales; y en general tenemos:
Teorema 4.7
lim f(x) = L si y sólo si lim f(x) = L y lim f(x) = L
x>a x>a+ x>a
Demostración. Obvio. @
Ejemplo 4.14 Encuentre lim f(x) y lim f(x)
x>2+ x>3
f(x) = |2x4| + |3x|
Solución.
Vemos que la función se puede representar como
73x si x 2
f(x) = x1 si 2 < x < 3
3x7 si x > 3
entonces lim f(x) = 1 y lim f(x) = 2
x>2+ x>3 @
Notamos que en el problema anterior
lim f(x) = 1 y lim f(x) = 2,
x>2 x>3+
Por lo que el límite de la función existe en x = 2 y en x =
3 debido al teorema anterior. En efecto, el límite de la
función f existe en cualquier punto, ya que en los demás
puntos es un polinomio.
Ejemplo 4.15 Encuentre lim [2x1]
x>3/2
Solución.
Vemos que para valores cerca de 3/2 por la derecha
[2x1] = 2 y para valores cercanos por la izquierda
[2x1] = 1 por lo tanto el límite no existe, sin
embargo
lim [2x1] = 2 lim [2x1] = 1
x>(3/2)+ x>(3/2)
5x+1, x < 2
Ejemplo 4.16 Encuentre los límites de f(x) = x2,2×3
en x = 2 y en x = 3.
3x, x > 3
Solución.
Como la función está definida por tres fórmulas y
precisamente en 2 y 3 cambia de fórmula, analizaremos los
límites laterales primeramente.
lim f(x) = lim (5x+1) = lim (5x+1) = 11
x>2 x>2 x>2
lim f(x) = lim x2 = lim x2 = 4
x>2+ x>2+ x>2
lim f(x) = lim x2 = lim x2 = 9
x>3 x>3 x>3
lim f(x) = lim (3x) = lim (3x) = 0
x>3+ x>3+ x>3
Por lo tanto, lim f(x) y lim f(x) no existen.
x>2 x>3
Ejercicios.
Calcule los límites laterales de las funciones.
siguientes en los puntos dados, indique cuando el límite
existe.
1. f(x) = |52x|, x = 2
2. f(x) = [5x1], x = 1/2, 1/5, 1, 2/5
3. f(x) = [x/3], x = 2, 3, 4, 6.
4. f(x) = [ x], x = 1, 4, 5, 9
5. f(x) = |7x3| + |2x|, x = 2, x = 3/7
6. f(x) = |x+1| [x], x = 1, 2, 3
7. f(x) = [x2+3], x = 2, 0, 1, 2
3x+2, x1
8. f(x) = 5 1<x<3 x = 1, 3, 4
62x , x>3
x21, x< 1
9. f(x) = 6x1, 1×4 x = 1,4
x2+9, x>4
10. f(x) = 3x1, x = 1/3
|x1|
11. f(x) = , x=1
x1
|2x3|
12. f(x) = , x = 3/2
[2x3]
[+4.5 Límites infinitos y límites al infinito]
En muchos casos se puede ver que el límite no existe
pues la función toma valores arbitrariamente grandes
positivos o negativos. Estos límites aunque “no existan” son
de mucha utilidad para el análisis de funciones, por lo que
consideraremos éstos como límites especiales, llamados
límites infinitos.
Definición 4.3 Sea f una función real definida cerca de
un punto a, decimos que f(x) tiende a infinito, f(x)
> oo, cuando
x>a si para todo número N > 0 dado, existe un d > 0 tal que
0 ‹ |xa| < d =› f(x) > N, y se representa:
lim f(x) = oo o también f(x) > oo cuando x > a.
x>a
La definición para lim f(x) = oo es similar.
x>a
Teorema 4.8 Sean f, g dos funciones definidas en un
intervalo de a. Si f(x) > C =/ 0, g(x) > 0
cuando x > a entonces
f(x) oo, si f(x)/g(x) > 0, cerca de a
lim =
x>a g(x) oo, si f(x)/g(x) < 0, cerca de a
Demostración.
Sea C > 0, para C negativo la prueba es similar,
Si f(x)/g(x) > 0, como cerca de a la función f toma valores
positivos, digamos entre C/2 y 3C/2 (por qué?), entonces
cerca de a g(x) es positiva.
C
Sea N > 0 un número dado, y tomemos e = > 0,
2N
como g(x) > 0 existe un d > 0 tal que g(x) < e, combinando
C 3C 1 2N
< f(x) < , con > ; (justifique este paso),
2 2 g(x) C
f(x) f(x)
Tenemos > N, por lo que se cumple lim = oo.
g(x) x>a g(x) @
Ejemplo 4.17 Analice los siguientes límites
i) lim 1/(x1)2
x>1
ii) lim 1/(x+3)
x>3
Solución.
i) Si x > 1 vemos que 1/(x1)2 crece
arbitrariamente pues (x1)2 tiende a cero y el
numerador a 1. Además el cociente siempre es positivo, y
podemos usar el teorema 4.8. Tenemos por lo tanto
lim 1/(x1)2 = oo
x>1
ii) Este caso es similar al anterior pues x+3 tiende a cero,
pero el cociente cambia de signo cuando x >
3, por lo que no podemos aplicar el teorema 4.8, si
damos valores de x cercanos a 3 vemos que el límite
no existe.
En (ii) del ejemplo anterior, aunque el límite no
existe podemos aplicar la idea de la sección anterior y
analizar los límites laterales; en este caso vemos que f(x)
crece arbitrariamente si x tiende a 3 por la
derecha. También vemos que f(x) toma valores negativos
arbitrariamente grandes si x tiende a 3 por la
izquierda. Esto lo podemos expresar:
lim f(x) = oo y lim f(x) = oo
x>3+ x>3
Definición 4.4 Sea f una función definida en puntos
cercanos de a, decimos que f(x) tiende a oo cuando x tiende
a por la derecha si para cualquier N > 0, existe un d > 0
tal que
a < x < a + d, xa => f(x) > N; y se representa lim f(x)
= oo
x>a+
Los límites lim f(x) = oo, lim f(x) = oo,
lim f(x) = oo
x>a x>a+ x>a
se definen en forma similar.
Ejemplo 4.18 Analice la función f(x) = 1/x cuando x > 0
Solución.
Como el numerador tiende a 1 y el denominador a 0, basta
analizar el signo del denominador. Cuando x > 0+ el
denominador es positivo y cuando x > 0 el
denominador es negativo, por lo que
lim 1/x = oo y lim 1/x = oo
x>0+ x>0
En casos como en el anterior en que la función tiende a
oo ó a oo por la derecha o por la izquierda cuando x
> a decimos que f tiene una asíntota vertical en x =
a. En el ejemplo anterior
x = 0 o sea el eje y es una asíntota vertical de la función.
Así como la función puede crecer arbitrariamente
positiva o negativamente, también podemos analizar los casos
en los que la variable tienda a oo ó a oo.
Definición 4.5 Sea f una función definida para todos
los valores mayores que cierto número dado. El límite de la
función f es L cuando x tiende a infinito, si para todo e >
0 existe un
M > 0 tal que x > M => |f(x) L| < e, y se
representa
lim f(x) = L.
x>oo
Para x tendiendo a oo la definición es similar
sustituyendo x > M por x < M, y se representa lim
f(x) = L
x>oo
x2
Ejemplo 4.19 Encontrar lim
x>oo x2+1
Solución. Vemos que tanto el numerador como el
denominador crecen arbitrariamente por lo se realizarán
pasos algebraicos para poder hacer el análisis
lim 1
x2 1 x>oo 1
lim = lim = = = 1
x>oo x2+1 x>oo 1+1/x2 lim 1 + lim 1/x2 1+0
x>oo x>oo
En casos como el anterior, que la función tiende a un
límite L cuando x > oo ó a oo decimos que f
tiene una asíntota horizontal en y = L. En el ejemplo
anterior y = 1 es una asíntota horizontal.
Vemos en el ejemplo anterior que es posible que tanto
la función como la variable tiendan a infinito, y estos casos son de mucha utilidad para saber el comportamiento de
una función.
Definición 4.6 Sea f una función definida para todos
los valores mayores que cierto número dado. El límite de la
función f es infinito cuando x tiende a infinito, si para
todo N > 0 dado existe un M > 0 tal que x > M => f(x) > N,
y se representa
lim f(x) = oo
x>oo
Para x tendiendo a oo la definición es similar
sustituyendo x > M por x < M, y se representa lim
f(x) = oo
x>oo
También se pueden definir los casos en que la función
tienda a oo.
Teorema 4.9 (Funciones especiales)
i) lim x = oo
x>oo
ii) lim xn = oo, si n es un entero positivo
x>oo
iii) lim x = oo
x>oo
iv) lim |x| =oo
x>oo
Demostración. Ejercicio. @
Teorema 4.10 Sean f, g dos funciones definidas en un
intervalo de a. Si f(x) > C, g(x) > oo
cuando x > a entonces
f(x)
lim = 0
x>a g(x)
Demostración. Se deja como ejercicio. @
En el teorema anterior, si en lugar de a consideramos
oo el teorema sigue siendo válido.
Cuando analizamos límites infinitos es común
encontrarnos con cocientes donde tanto el numerador como el
denominador tienden a oo ó a oo; casos como éstos,
como ya lo vimos en el ejemplo anterior pueden tener un
límite y se llaman indeterminaciones de la forma oo/oo.Un
problema muy importante del Cálculo es poder encontrar el
límite de una indeterminación cuando éste existe, y a lo
largo del curso se le dedican varios temas para este
problema.
Nota 4.2 Recordemos que en la sección 4.3 se vieron
indeterminaciones de la forma 0/0, también se pueden
presentar casos como 0 . oo ó de la forma oo oo las
cuales también son indeterminaciones.
Ejemplo 4.20 Encuentre los siguientes límites, si
existen
2×3+5x1
i) lim
x>oo 3×3+6x+2
x2+6x1
ii) lim
x>oo x3+1
x2+4x9
iii) lim
x>oo x+1
Solución.
i) Dividimos entre x3 como en el ejemplo 4.19
2×3+5x1 2 + 5/x 1/x2 2
lim = lim =
x>oo 3×3+6x+2 x>oo 3 + 6/x + 2/x2 3
x2+6x1 1 + 6/x 1/x2
ii) lim = lim = 0
x>oo x3+1 x>oo x + 1/x
x2+4x9 x + 4 9/x
iii) lim = lim = oo
x>oo x+1 x>oo 1 + 1/x
Ejemplo 4.21 Encuentre los límites, si existen
i) lim ( x+1 x)
x>oo
ii) lim [x]/x
x>oo
Solución.
i) Este problema es una indeterminación de la forma oo
oo, para quitar la indeterminación multiplicamospor el binomio conjugado como se hacía en problemas de la
sección 4.3 y tenemos
( x+1 x)( x+1 + x) x+1 x 1 lim = lim = lim = 0
x>oo x+1 + x x>oo x+1 + x x>oo x+1 + x
ii) Este caso es una indeterminación de la forma oo/oo, para
este problema primero observamos que
lim (x[x])/x = lim (x[x])(1/x) = 0
x>oo x>oo
pues 0 x [x] 1, y podemos aplicar el teorema 4.6, entonces
lim [x]/x = lim (1 (x[x])/x) = 1
lim (x[x]) =1
x>oo x>oo x>oo
Es de particular importancia hacer un análisis del
cociente:
f(x) lim , donde lim f(x) = A, lim g(x) = B
x>a g(x) x>a x>a
a, A, B pueden ser un número, oo ó oo. Los teoremas
4.8 y 4.10 presentan algunos casos especiales y los demás se
dejan como un ejercicio.
Ejercicios.
Encuentre los siguientes límites:
1
1. lim
x>3 (3x)2
x+1
2. lim
x>2+ x2
3
3. lim
x>1 x2+4x+3
x3+2×2+1
4. lim
x>oo 5×32
5×24
5. lim
x>oo x3+2x1
x58
6. lim
x>oo 2×3+5x
7. lim ( 5+x x)
x>oo
Encuentre las asíntotas verticales de la función
x2
8. f(x) =
x3
1
9. f(x) =
x2x6
x+1
10. f(x) =
x2+5x+4
2
11. f(x) =
x3x212x
1
12. f(x) =
(x1)(2x1)(3x+1)
Las siguientes funciones tienen una asíntota
horizontal, diga cuál es.
x2+5x
13. f(x) =
5×21
x
14. f(x) =
x3+1
3×2+6x1
15. f(x) =
x2+1
16. Defina lim f(x) = oo
x>a
17. Defina lim f(x) = oo
x>a
18. Defina lim f(x) = oo
x>oo
19. Haga un análisis completo del cociente:
f(x) lim , donde lim f(x) = A,
lim g(x) = B
x>a g(x) x>a x>a
a, A, B pueden ser un número, oo ó oo.
20. Demuestre el teorema 4.8 si C < 0.
21. Demuestre el teorema 4.9.
22. Demuestre el teorema 4.10.