Clasificacion De Los Numeros Reales

Clasificacion De Los Numeros Reales

Para los números reales utilizados en la teoría descriptiva, vea el espacio de Baire (teoría). Para el tipo de datos informático, consulte el número de punto flotante.

n símbolo del conjunto de números reales (ℝ)

Números reales pueden considerarse como puntos de una infinita línea número.En matemáticas, un número real es un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. Los números reales incluyen todos los números racionales, como el −5 entero y la fracción 4/3 y todos los números irracionales como √2 (1.41421356… la raíz cuadrada de dos, un irracional algebraica) y π (3,14159265…, un número trascendente). Números reales pueden considerarse como puntos de una infinita línea llamado el número de línea o línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros son equidistantes. Cualquier número real puede determinarse por una infinita posiblemente representación decimal como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte del tamaño del anterior. La línea real puede considerarse como una parte del plano complejo, y en consecuencia, números complejos incluyen números reales como un caso especial.

Estas descripciones de los números reales no son lo suficientemente rigurosas para los estándares modernos de matemática pura. El descubrimiento de una definición suficientemente rigurosa de los números reales — de hecho, la realización de que era necesaria una mejor definición — fue uno de los acontecimientos más importantes de las matemáticas del siglo XIX. La definición axiomática estándar actualmente es que los números reales forman el único completo totalmente ordenado campo (R, +, ·, <), hasta isomorfismo,[1] mientras que el populares definiciones constructivas de los números reales incluyen declararlas como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales, Dedekind corteso cierto infinito “representaciones decimales”, junto con interpretaciones precisas para las operaciones aritméticas y la relación de orden. Estas definiciones son equivalentes en el ámbito de la matemática clásica.

Contenido

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■1 Propiedades básicas ■2 En física ■3 En computación ■4 Notación ■5 Historia ■6 Definición ■6.1 Enfoque axiomático ■6.2 Construcción de los números racionales ■7 Propiedades ■7.1 Integridad ■7.2 “El campo ordenado completo” ■7.3 Propiedades avanzadas ■8 Extensiones y generalizaciones ■9 “Reales” en teoría de conjuntos ■10 Números reales y lógica ■11 Véase también ■12 Notas ■13 Referencias ■14 Enlaces externos

Propiedades básicas

Un número real puede ser racional o irracional; ya sea algebraica o trascendental; y ya sea positivo, negativoo cero. Números reales se utilizan para medir las cantidades continuas . Puede en teoría ser expresadas por representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal; Estos son a menudo representados en la misma forma que 324.823122147… Los puntos suspensivos (tres puntos) indican que todavía sería más dígitos a venir.

Más formalmente, los números reales tienen las dos propiedades básicas de un ordenado campoy tiene la propiedad de menor cota superior . La primera dice que los números reales forman un campo, con adición y multiplicación, así como la división por un número distinto de cero, que puede ser totalmente ordenado en una recta numérica en una forma compatible con la adición y la multiplicación. La segunda dice que si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, tiene una menor cota superior. La segunda condición distingue los números reales de los números racionales: por ejemplo, el conjunto de los números racionales cuya Plaza es inferior a 2 es un conjunto con un límite superior (por ejemplo, 1.5) pero no menor cota superior: por lo tanto los números racionales no satisfacen la propiedad menos del límite superior.

En física

En las ciencias físicas, constantes más físicas como la constante de gravitación universal y variables físicas, como posición, masa, velocidad y carga eléctrica, se modelan usando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales tales como la mecánica clásica, electromagnetismo, mecánica cuántica, relatividad general y el modelo estándar se describen mediante estructuras matemáticas, típicamente diferenciables o espacios de Hilbert, que se basan en los números reales, aunque las mediciones reales de magnitudes físicas son finitos de exactitud y precisión.

En algunos desarrollos recientes de la física teórica que se derivan del principio holográfico, el universo es visto fundamentalmente como un almacén de información, esencialmente de ceros y unos, organizado de manera mucho menos geométrico y que se manifiesta como campos de espacio-tiempo y partícula sólo en un nivel más superficial. Este enfoque elimina el sistema de números reales de su papel fundacional en física e incluso prohíbe la existencia de los números reales de precisión infinita en el universo físico por consideraciones basadas en el enlazado de Bekenstein. [ [] 2 []

En computación

Equipo aritmética no puede operar directamente en números reales, pero sólo en un subconjunto finito de los números racionales, limitado por el número de bits utilizados para almacenar, ya sea como números de punto flotante o números de precisión arbitraria. Sin embargo, puede operar sistemas de álgebra computacional en cantidades irracionales exactamente mediante la manipulación de fórmulas para ellos (tales como , , o) en lugar de su aproximación racional o decimal; [3] ] sin embargo, no es en general posible para determinar si esas dos expresiones son iguales (el problema constante).

Un número real se llama computable si existe un algoritmo que produce sus dígitos. Porque hay sólo contablemente muchos algoritmos,[4] ] pero un incontable número de reales, casi todos los números reales no sean computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible. Algunos constructivistas aceptar la existencia de sólo esos reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero todavía sólo contable.

Notación

Matemáticos usan el símbolo R (o alternativamente, , la letra «R» en blackboard bold, Unicode ℝ – U + D 211) para representar el conjunto de todos los números reales (como naturalmente, este conjunto está dotado de una estructura de campo, la expresión de campo de los números reales es más frecuente que conjunto de todos los números reales). La notación rn se refiere al producto cartesiano de n copias de R, que es un n-dimensional espacio vectorial sobre el campo de los números reales; Este espacio vectorial puede identificarse a la n-dimensional espacio de geometría euclidiana tan pronto como se ha elegido un sistema de coordenadas en este último. Por ejemplo, un valor de R3 consta de tres números reales y especifica las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional.

En matemáticas, real se utiliza como adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales (o el campo real). Por ejemplo real matriz, real polinomio y real álgebra de Lie. Como sustantivo, el término se usa casi estrictamente en referencia a los números reales propios (por ejemplo, el “conjunto de todos los números reales”).

Historia

Fracciones vulgares había sido utilizado por los egipcios alrededor del año 1000 a. C.; la Védica “Sulba Sutras” (“las reglas de acordes”) en, 600 a. c., incluyen lo que puede ser el primer uso de números irracionales. El concepto de irracionalidad aceptó implícitamente principios matemáticos indios desde Manava (c. 750–690 BC), que eran conscientes de que no se pudo determinar exactamente las raíces cuadradas de algunos números como 2 y 61. [5] ] [verificación necesaria] Alrededor del año 500 a. C., los matemáticos griegos liderada por Pitágoras realizado la necesidad de los números irracionales, en particular la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

La edad media trajo la aceptación de cero, negativo, integraly números fraccionarios , primero por indios y matemáticos chinos, y luego por los matemáticos árabes, que fueron también los primeros en tratar números irracionales como objetos algebraicos,[6] ] que fue posible por el desarrollo del álgebra. Matemáticos árabes fusionan los conceptos de “número” y la “magnitud” una idea más general de los números reales. [ [] 7 [] El matemático egipcio Abu Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) fue el primero en aceptar números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas o coeficientes en una ecuación, a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuarto. [8] ] [verificación necesaria]

En el siglo XVI, Simon Stevin sentaron las bases para la notación moderna decimal e insistió en que no hay diferencia entre números racionales e irracionales en este sentido.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término “real” para describir las raíces de un polinomio, distinguiéndolas de “imaginarias”.

En los siglos XVIII y XIX hubo mucho trabajo en irracional y números trascendentes. Johann Heinrich Lambert (1761) dio la primera prueba errónea que π no puede ser racional;[citación necesaria] Adrien-Marie Legendre (1794) completó la prueba y mostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. Paolo Ruffini (1799) y Niels Henrik Abel (1842) ambos construyeron demostraciones del teorema de Ruffini: que el general quinto grado o ecuaciones superiores no pueden resolverse mediante una fórmula general que participan solamente operaciones aritméticas y raíces.

Évariste Galois podrían resolverse (1832) técnicas desarrolladas para determinar si una ecuación dada por los radicales, que dieron lugar al campo de la teoría de Galois. Joseph Liouville (1840) mostró que ni e ni e2 puede ser una raíz de un número entero de ecuación cuadráticay luego estableció la existencia de números trascendentes, la prueba posteriormente desplazado por Georg Cantor (1873). Charles Hermite primero (1873) demostró que e es trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), mostró que π es trascendente. Prueba de Lindemann fue simplificado por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893) y finalmente ha hecho elemental Adolf Hurwitz y Paul Gordan.

El desarrollo del cálculo en el siglo XVIII había utilizado todo el conjunto de números reales sin haber definido limpiamente. La primera definición rigurosa fue dada por Georg Cantor en 1871. En 1874 mostró que el conjunto de todos los números reales es igual a infinito , pero el conjunto de los números algebraicos es infinito numerable. Contrariamente a las creencias generalizadas, su primer método no era su famoso argumento de diagonal, que publicó en 1891. Ver la primera prueba de uncountability de Cantor.

Definición

El sistema de números reales puede ser definida axiomatically hasta un isomorfismo, que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir “el” sistema de números reales, por ejemplo, a partir de los números naturales, luego definir números racionales algebraicamente y finalmente definir números reales como las clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o cortes de Dedekind, que son ciertos subconjuntos de los números racionales. Otra posibilidad es comenzar desde algunas rigurosa axiomatización de la geometría euclidiana (Hilbert, Tarski etc.) y, a continuación, definir el sistema de números reales geométricamente. Desde la perspectiva estructuralista todas estas construcciones están en pie de igualdad.

Enfoque axiomático

Sea r el conjunto de todos los números reales. A continuación:

■El conjunto r es un campo, lo que significa que la adición y la multiplicación se definen y tienen las propiedades habituales. ■El campo r es ordenado, lo que significa que hay una orden total ≥ tal que, para real todos los números x, y y z: ■Si x ≥ y luego x + z ≥ y + z; ■Si x ≥ 0 y y ≥ 0 entonces xy ≥ 0. ■El orden es Dedekind-completo; es decir, cada subconjunto no vacío s de r con un límite superior en r tiene una menor cota superior (también llamado Supremo) en r. La última propiedad es lo que diferencia a los reales de los números racionales. Por ejemplo, el conjunto de números racionales con cuadrados menos de 2 tiene un límite superior racional (p. ej., 1.5) pero no hay límite superior menos racional, porque la raíz cuadrada de 2 no es racional.

Los números reales son únicamente especificados por las propiedades anteriores. Más precisamente, dado cualquier dos completa de Dedekind ordenaron campos R1 y R2, existe un campo único isomorfismo de R1 R2, lo que nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.

Para otro axiomatización de R, vea axiomatización de Tarski de los reales.

Construcción de los números racionales

Los números reales puede construirse como una terminación de los números racionales, de tal manera que una secuencia definida por una expansión decimal o binaria (3, 3.1, 3.14, 3.141 3.1415,…) converge a un único número real. Para detalles y otras construcciones de los números reales, observar la construcción de los números reales.

Propiedades

Integridad

Una razón principal para usar números reales es que los reales contienen todos los límites. Más precisamente, cada secuencia de números reales tiene la propiedad que términos consecutivos de la secuencia de ser arbitrariamente cerca uno del otro necesariamente tiene la propiedad que después de algún término en la secuencia de los términos restantes están arbitrariamente cerca de algún número real específico. En la terminología matemática, esto significa que los reales son completas (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes, que es un sentido diferente que la integridad de Dedekind de la orden en la sección anterior). Formalmente se define de la siguiente manera:

Una secuencia (xn) de números reales se llama una sucesión de Cauchy si para cualquier ε > 0 existe un entero N (posiblemente según ε) tal que la distancia |x n − xm| es menor que ε para todos n y m que son mayor que N. En otras palabras, una secuencia es una sucesión de Cauchy si sus elementos xn finalmente venir y permanecer arbitrariamente cerca uno del otro.

A secuencia (xn) converge al límite x si para cualquier ε > 0 existe un entero N (posiblemente según ε) tal que la distancia |x n − x| es menor que ε siempre que n es mayor que N. En otras palabras, una secuencia tiene límite x si sus elementos finalmente ven y permanecen arbitrariamente cerca de x.

Observe que cada secuencia convergente es una sucesión de Cauchy. Lo contrario también es cierto:

Cada sucesión de Cauchy de números reales es convergente a un número real.

Es decir, los reales están completos.

Tenga en cuenta que los números racionales no están completos. Por ejemplo, la secuencia (1, 1.4, 1.41, 1,414 1,4142, 1.41421,…), donde cada término agrega un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es de Cauchy, pero no converge a un número racional. (En los números reales, en contraste, converge a la raíz cuadrada positiva de 2.)

La existencia de límites de secuencias de Cauchy es lo que hace el cálculo de trabajo y es de gran utilidad práctica. La prueba estándar numérica para determinar que si una secuencia tiene un límite es para probar si es una sucesión de Cauchy, como límite normalmente no se conoce de antemano.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

converge a un número real, porque para cada x las sumas

puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo n suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es de Cauchy, así que sabemos que la sucesión converge incluso si el límite no se conoce de antemano.

“El campo ordenado completo”

Los números reales son a menudo descritos como “el completo ordenado campo”, una frase que puede interpretarse de varias maneras.

En primer lugar, puede ser una orden completa de celosía. Es fácil ver que ningún campo ordenado puede completar de celosía, porque no puede tener ningún elemento más grande (dado cualquier elemento z, z + 1 es más grande), por lo que no es el sentido de que está destinado.

Además, un pedido puede completar de Dedekind, tal como se define en la sección de axiomas. El resultado de la singularidad del final de esa sección justifica utilizando la palabra «the”en la frase”campo ordenado completo”cuando este es el sentido de «completa» que significaba. Este sentido de integridad más estrechamente relacionado con la construcción de los reales de cortes de Dedekind, ya que la construcción se inicia desde un campo ordenado (los racionales) y luego forma la realización de Dedekind de ella de forma estándar.

Estas dos nociones de integridad ignoran la estructura del campo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme y uniformes estructuras tienen una noción de integridad (topología); la descripción en la sección anterior de integridad es un caso especial. (Nos referimos a la noción de integralidad en espacios uniformes en lugar de la noción más conocida y relacionada para espacios métricos, ya que depende de la definición de espacio métrico ya teniendo una caracterización de los números reales.) No es cierto que r es el campo ordenado sólo uniforme completo, pero es sólo uniforme completo campo de Arquímedes, y de hecho se oye a menudo la frase “campo completo de Arquímedes” en lugar de “campo ordenado completo”. Ya que se puede demostrar que cualquier campo uniforme completo de Arquímedes también debe completar de Dedekind (y viceversa, por supuesto), esto justifica utilizando “la” en la frase “el campo completo de Arquímedes”. Este sentido de integridad está más relacionado con la construcción de los reales de Cauchy secuencias (la construcción se llevó a cabo en su totalidad en este artículo), ya que comienza con un sinfin de campo (los racionales) y forma la terminación uniforme de ella de forma estándar.

Pero fue el uso original de la frase “campo completo de Arquímedes” por David Hilbert, quien todavía significaba algo más por ella. Quería decir que los números reales forman el mayor campo de Arquímedes en el sentido de que todos los otros campos de Arquímedes es un subcampo de R. Así, R es “completo” en el sentido de que nada más puede añadirse a ella sin que ya no sea un campo de Arquímedes. Este sentido de integridad es más estrechamente relacionadas con la construcción de los reales de números surreales, desde que construcción comienza con una clase de propiedad que contiene cada campo ordenado (el surreals) y luego selecciona desde el subcampo más grande de Arquímedes.

Propiedades avanzadas

Ver también: línea Real

Los reales son incontables, es decir, existen números reales estrictamente más que números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitas. De hecho, la cardinalidad de los reales es igual que el conjunto de subconjuntos (es decir, el conjunto de potencia) de los números naturales y el argumento diagonal de Cantor afirma que la cardinalidad del conjunto de estos últimos es estrictamente mayor que la cardinalidad de N. Desde entonces sólo un conjunto numerable de números reales puede ser algebraica, casi todos los números reales son trascendentales. La no existencia de un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente entre el de los enteros y los reales se conoce como la hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo no puede demostrarse ni ser refutada; es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Como un espacio topológico, los números reales son separables. Esto es porque el conjunto de números racionales, que es numerable, es denso en los números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo son incontables y tienen la misma cardinalidad como los reales.

Los números reales forman un espacio métrico: la distancia entre x e y se define como el valor absoluto |x − yalibaba.com. En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado , también llevan una topología del orden; la topología que surjan de la métrica y los derivados de la orden son idénticos, pero producen diferentes presentaciones para la topología – en la topología del orden como intervalos, en la topología métrica como bolas de epsilon. El Dedekind cortes construcción utiliza la presentación de la topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy utiliza la presentación de la topología métrica. Los reales son un termocontraibles (ahí conectado y simplemente conectado), separable y espacio métrico completo de dimensión de Hausdorff 1. Los números reales son localmente compacto pero no compactas. Hay varias propiedades que especifican exclusivamente a ellos; por ejemplo, ilimitada, conectados y separable todas las topologías de orden son necesariamente homeomórficos a los reales.

Cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada en R, aunque no hace número negativo. Esto muestra que el orden en r está determinado por su estructura algebraica. Además, cada polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades hacen r el principal ejemplo de un campo real cerrada. Probar esta es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental del álgebra.

Los reales llevan un canónico medida, la medida de Lebesgue, que es la medida de Haar en su estructura como un grupo topológico normalizado de tal manera que el intervalo unidad [0,1] tiene medida 1.

El axioma del Supremo de los reales se refiere a los subconjuntos de los reales y por lo tanto, es una declaración lógica de segundo orden. No es posible caracterizar los reales con la lógica de primer orden por sí solo: el teorema de Löwenheim implica que existe un subconjunto denso numerable de los números reales que satisface exactamente las mismas frases en lógica de primer orden como la real números propios. El conjunto de números hiperreal satisface la misma sentencias de primer orden como R. Orden a campos que satisfacen que las mismas sentencias de primer orden como r son llamadas modelos estándares de R. Esto es lo que hace análisis no estándar de trabajo; demostrando una declaración de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil que lo demostrando en R), sabemos que la misma declaración también debe ser cierto de r.

Extensiones y generalizaciones

Los números reales pueden generalizados y extendidos en diferentes direcciones:

■Los números complejos contienen soluciones a todas las ecuaciones polinomiales y por consiguiente son un cuerpo algebraicamente cerrado campo a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un ordenado campo. ■El m-plano extendido sistema de números reales , agrega dos elementos + ∞ y −∞. Es un compacto de espacio. Ya no es un campo, ni un grupo aditivo, pero todavía tiene un orden total; Además, es un reticulado completo. ■La línea proyectivo real agrega un único valor ∞. También es un espacio compacto. Una vez más, ya no es un campo, ni un grupo aditivo. Sin embargo, permite la División de un elemento distinto de cero por cero. Ya no se ordena. ■La línea de tiempo real pega juntos ℵ1* +1 copias ℵ de la línea real más un punto único (aquí ℵ1* denota el orden inverso de ℵ1) para crear un conjunto ordenado que es “localmente” idénticas a los números reales, pero de alguna manera más; por ejemplo, hay un orden preservante incrustación de ℵ1 en la línea de tiempo real pero no en los números reales. La línea de tiempo real es el más grande conjunto ordenado que es completa y localmente Arquímedes. Al igual que con los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o grupo aditivo. ■Campos ordenadas extendiendo los reales son los números hiperreal y los números surreales; ambos contienen infinitesimales y números infinitamente grandes y por lo tanto no son Arquímedes. ■Operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, autoadjunto cuadradas complejas matrices) generalizar los reales en muchos aspectos: pueden solicitarse (aunque no totalmente ordenado), son completos, todos sus autovalores son reales y forman un álgebra asociativade real. Operadores definida positiva corresponden a los reales positivos y operadores normales corresponden a los números complejos.

“Reales” en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos, específicamente la teoría descriptiva de conjuntos, el espacio de Baire se utiliza como un sustituto para los números reales ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Elementos del espacio de Baire se denominan “reales”.

Números reales y lógica

Los números reales más a menudo se formalizó con la axiomatización de Fraenkel de la teoría de conjuntos, pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inverso y en matemáticas constructivas. [ [] 9 []

Teoría de Abraham Robinsonde estándar , o hiperreal números amplía el conjunto de los números reales mediante números infinitesimales, que permite construir el cálculo infinitesimal de una manera más cercana a la intuición habitual de la noción de límite. Edward Nelson teoría interna es un no -Fraenkel que considera no estándares números reales son elementos del conjunto de los reales (y no de una extensión del mismo, como en la teoría de Robinson) .

La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es , es decir, el más pequeño infinito número cardinal después de , la cardinalidad de los números enteros. Paul Cohen probó en 1963 que es un axioma independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos; es decir, uno puede elegir la hipótesis del continuo o su negación como un axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción.

Real number. (2012, September 5). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 23:25, September 9, 2012, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Real_number&oldid=510901258


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