Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Integrales Iteradas Dobles Y Triples

Integrales Iteradas Dobles Y Triples

Integrales iteradas dobles y triples

La integraci贸n iterada es un m茅todo de integraci贸n en el cualefectuamos la operaci贸n de integraci贸n en cascada con respecto a cualquier variable en relaci贸n con las otras variables que se mantienen constantes. La notaci贸n convencional de la integraci贸n iterada es como se muestra a continuaci贸n,

En el ejemplo anterior, primero se calcular铆a la integraci贸n con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensi贸n, tambi茅n puede ser escrita como,

La integraci贸n iterada tambi茅n puede realizarse como integraci贸n definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integraci贸n indefinida iterada.

Del mismo modo tambi茅n puede hacerse que la integraci贸n definida itere.

Lo anteriormente definido es una integraci贸n iterada doble. De manera similar,tambi茅n puede llevarse a cabo una integraci贸n iterada triple.

En esa situaci贸n, efectuamos la integraci贸n tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como t茅rminos constantes.

La notaci贸n convencional para la integraci贸n triple es,

En la figura siguiente, tenemos una funci贸n como, z = f(x, y),

Si calculamos la integraci贸ndoblede esta funci贸n, la salida ser铆a algo como,

Vamos ahoraa comprender el m茅todo de c谩lculo para esta integral. El m茅todo para determinar el volumen de una figura s贸lida mediante dividirla en trozos de igual tama帽o e integrarla para el s贸lido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que tambi茅neste puede utilizarse para determinar la integral doble de una funci贸n.

Attach:cv115.jpg Δ

Suponga que la columna cil铆ndrica Q pasa a trav茅s de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx鈥.El 谩rea transversal de la columna Q es similar al 谩rea de la curva z = f (x鈥, y). Esta 谩rea yace entre (x鈥, Y2) y (x鈥, Y1). Aqu铆 los puntos (x鈥, Y2) y (x鈥, Y1), son los puntos de intersecci贸n de la regi贸n dada y del plano de intersecci贸n.

La secci贸n transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor m谩s peque帽o es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x鈥 intersecta el plano R en s贸lo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para alg煤n valor de x a partir de la ecuaci贸n de frontera de la regi贸n R.

La ecuaci贸n anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuaci贸n del volumen obtenemos,

Donde la ecuaci贸n de volumen es,

Para esta ecuaci贸n, primero realizamos la integraci贸n con respecto ay, la cual es la integraci贸n interior considerando a x como un t茅rmino constante y luego con respecto a x considerando a y como t茅rmino constante.

De la misma forma, la integraci贸n iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc.La integraci贸n tripletambi茅n es calculada en los sistemas de coordenadas esf茅ricas y cil铆ndricas.

Saludos y suerte prof lauro soto


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