1.- ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
Son las que pueden escribirse en la forma: f(x) dx = g(y) dy (1)
Es decir, con las variables separadas.
Se supondrá que f(x) y g(y) son continuas respectivamente en I y J . Por el teorema de existencia y unicidad, habrá solución única por cada (xo , yo) I J, siempre que no se anule g(y) en J. Si y = (x) es una solución de la ecuación diferencial (1), habrá de cumplirse la identidad :
g(x) ´ (x) dx f(x) dx x I
Luego:
Por el cambio de variable y = (x), se obtiene:
Esta es la solución general que incluye una constante arbitraria C.
Ejemplo1:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial: x dx + y dy =0
Se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: y dy = - x dx.
Su solución general, en forma implícita, será: x2 + y2 = C donde habrá
de ser C > 0 para que se trate de solución real, no simplemente de solución formal.
Ejemplo 2:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
También se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: 3 y2 dy = (2 x –1) dx. Integrando ambos miembros, su solución general será: y3 = x2 – x + c.
Ejemplo 3:
Solución general de (1- y) dx + (x+3) dy = 0. En particular hallar la solución tal que y(−1) =0
Separando variables: . E integrando ambos miembros:
Por tanto : . Luego : y-1 = C1 (x+3)
Podemos por tanto escribir: y = 1 +k (x + 3) k 0
En el proceso de separar variables, se han perdido las soluciones x = −3 e y = 1.
Luego la solución general esta formada por :
y = 1 +k (x + 3), k y la recta: x = −3.
La solución particular buscada es:
En este ejemplo vemos que el haz integral puede expresarse de formas variadas, sustituyendo una cte. C por (k) . Pero el haz solo será el mismo si hay correspondencia biunívoca entre los valores de C y los de k.
Ejemplo 4:
a) Solución general de la ecuación diferencial: y´ = y
Separando variables: ( Se ha perdido la solución y = 0 al efectuar la división por y ).
Integrando :
Por tanto: y =
La solución es por tanto: y = K ex , K , válida incluso si K = 0, pues y = 0
es también solución de la ecuación diferencial dada.
b) Solución general de la ecuación diferencial: . Es una generalización del ejemplo anterior. . Actuando de forma análoga se obtiene como solución: , K
Ejemplo 5:
Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que comienza el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .
La ecuación diferencial del proceso es : la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado y que se supone conocida. El signo negativo indica que x decrece al aumentar la t.
Separando variables : Como para t = 0 es x = xo, resulta : x = x0 e- k t.
Ejemplo 6.
La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o y se enfría a 1030 o en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o ¿ cual es la expresión de la temperatura de la barra en función del tiempo?.
Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que la barra a 1230º es colocada en un ambiente a 30º). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se mide en minutos. La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será: , k>0 donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º ). El signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t.
Separando las variables en la ecuación:
E integrando, teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 4-b : , es decir: .
Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración: T(0) = 1230º 1230 = 30 + C C = 1200 .
Luego: .
El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de proporcionalidad: T(10) = 1030º 1030 = 30 + 1200 e-10 k
Por tanto, la función buscada es: donde t está en minutos.
Notas:
• Soluciones que no pueden expresarse en términos de funciones elementales
Sabemos que algunas integrales indefinidas no pueden expresarse en términos finitos con funciones elementales.
Por ejemplo :
Si aparece alguna de estas integrales en la resolución de una ecuación diferencial, deberá dejarse planteada la integración.
Ejemplo 7: Sea el problema de valor inicial:
Separando variables: Podrá escribirse en la forma
Como y(2) = 1 , resulta: –1 = C Luego:
• El método de separación de variables, da en general una solución implícita de la
ecuación. En algunos casos puede obtenerse de la misma, una solución explícita. Pero en realidad se obtienen expresiones implícitas “formales” que satisfacen la ecuación diferencial, pero que quizá para ciertos valores de la constante no definen soluciones explícitas.
Así la: x dx + y dy = 0 , da lugar a x2 + y2 = C que formalmente satisface a la ecuación diferencial, pero que no define implícitamente a ninguna función para c 0.
2.- ALGUNAS ECUACIONES REDUCIBLES A SEPARABLES
Se van a considerar ahora unos tipos de ecuaciones que pueden transformarse en una ecuación separable por medio de una transformación o sustitución apropiada.
2.1 ECUACIONES DEL TIPO : y´ = f(ax + by +c)
Por medio de la sustitución u = a x + b y +c, la ecuación anterior se transforma en otra con variables separables.
En efecto : Es Luego :
Tras resolver la integral, se deshace el cambio.
Ejemplo 8: Resolver la ecuación diferencial :
Sea u = x +y. Entonces
Luego:
Tras deshacer el cambio : y = tg (x + C) – x
