En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.
Ejemplos
• Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras (discreta).
Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.
• Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).
• Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).
• Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada sandía su peso es una variable aleatoria (continua).
Variable aleatoria (v.a.)
Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento.
Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real).
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, … para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, …) para designar valores concretos de las mismas.
Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación:
(X=x) representa el suceso “la variable aleatoria X toma el valor x”, y p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso. (X<x) representa el suceso “la variable aleatoria X toma un valor menor a x”, y p(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x. (X x) representa el suceso “la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x”, y p(X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x.
Si una variable aleatoria sólo toma valores enteros, es decir, un número finito de valores o infinito numerable diremos que es discreta (los dos primeros ejemplos). Si teóricamente, puede tomar todos los valores de un intervalo de R, diremos que es continua (los dos últimos ejemplos).
