VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico obtenemos una variable aleatoria. Es decir, una variable que lleva asociada una probabilidad. La probabilidad de un valor concreto de la variable es la probabilidad que corresponde a los sucesos aleatorios elementales a los que hemos asignado ese valor numérico.
Por ejemplo : En el experimento aleatorio “lanzar un dado” asignamos a cada cara del dado su valor numérico (esta asignación aparece de forma natural). Así generamos una variable aleatoria que toma seis valores, del 1 al 6 con igual probabilidad (1/6) cada uno de ellos. Pero, con este mismo experimento, podemos generar otras variables aleatorias (no tan naturales) como puede ser : asignar el valor 1 a las caras que son múltiplos de tres y el valor 0 a las que no lo son, apareciendo una variable aleatoria que tiene dos valores, el 1 con probabilidad 1/3 y el 0 con probabilidad 2/3.
Crear una variable aleatoria no tiene mucho sentido sino la vamos a utilizar en un determinado contexto, por ejemplo, podemos utilizar la segunda variable aleatoria que hemos creado para apostar si sale o no múltiplo de tres.
Resumiendo, una variable aleatoria se construye al atribuir un número (positivo, negativo o cero) a cada uno de los sucesos aleatorios que forman el espacio muestral de un experimento aleatorio. La probabilidad de cada valor de la variable es la probabilidad conjunta de los sucesos que dan lugar a ese valor. Es decir, definimos una variable aleatoria como una aplicación del espacio muestral W sobre el conjunto de los números reales R.
Según la amplitud del campo de variación de la función podemos distinguir : variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. De la misma forma que en estadística descriptiva, una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto finito o infinito numerable. Y una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no numerable. Como ejemplo típico de variable aleatoria discreta tenemos la distribución binomial, y como ejemplo típico de variable aleatoria continua vamos a ver ahora la distribución normal.
Como hemos visto hay variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de un intervalo real de la forma (a, b), (a, +¥), (-¥, b), (-¥, +¥) o uniones de ellos. A las variables de este tipo se las denomina variables aleatorias continuas.?
Por ejemplo : Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en seleccionar una persona y apuntar su peso. Podemos crear una variable aleatoria cuyos valores sean el número de kilogramos que pesa la persona observada. En este caso, el rango de valores posibles se extiende entre los límites naturales, pero la continuidad de esta variable aleatoria radica en el carácter continuo de lo que medimos, el peso, es decir, en el hecho de que entre dos valores posibles se podrían obtener infinitos valores intermedios, también posibles si utilizáramos aparatos con suficiente precisión. Estos “infinitos” en el interior del rango de la variable es lo que diferencia a las variables continuas de las discretas.
Sin entrar en profundidades, consideramos que una distribución de probabilidad es cualquier mecanismo que nos ayuda a obtener las probabilidades de los valores de una variable si es discreta, o las probabilidades de intervalos de la variable si es continua. Si la variable aleatoria es discreta es posible asignar probabilidades a cada uno de los valores puntuales de la variable. En contra, cuando es continua cada uno de los infinitos valores posibles tendrá probabilidad cero y sólo podremos hablar de probabilidad dentro de intervalos.
Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua
Función de Distribución y Función de Densidad. Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones, y como ya hemos dicho, no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), más tarde podremos analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto que denominamos densidad de probabilidad). Como queremos definir los conceptos de función de densidad y de distribución para variables aleatorias continuas, vamos a partir de la idea intuitiva de que tales funciones son “modelos” de las distribuciones de frecuencias de la variable aleatoria considerada.
Ejemplo 1 Pretendemos observar la altura de un grupo de personas y vamos a seleccionar a una persona de forma totalmente aleatoria. La probabilidad de que la altura de esa persona sea exactamente 1,62894635… m es cero. Pero la probabilidad de que la altura de esa persona esté entre 1,62 m y 1,63 m tendrá un valor concreto y casi con certeza que será mayor que la probabilidad de que esté entre 2,10 m y 2,11 m. Por tanto, la densidad de probabilidad en el entorno de 1,625 m es mayor que la densidad de probabilidad en el entorno de 2,105 m. Sin embargo, que el valor exacto 1,62894635 tenga probabilidad cero de ocurrir no implica que sea imposible que ocurra. De hecho, cualquier persona que seleccionemos tendrá una altura concreta y exacta que tenía probabilidad cero de suceder.
Ejemplo 2 Sea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una determinada marca y modelo. Los valores de una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido plantearse la probabilidad de resultados “aislados” (como, por ejemplo, la probabilidad de que un neumático dure, exactamente, 56.000 km , 235 m , 47 cm y 6 mm). En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure menos de 50.000 km? o ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure entre 60.000 y 70.000 km?.
Tanto en el ejemplo 1 como en el 2 si queremos hallar esas probabilidades tendremos que recurrir a métodos empíricos y usar técnicas estadísticas : tomar una muestra, examinar y anotar las frecuencias observadas. Entonces tomaremos como valor de la probabilidad de un suceso s1 la frecuencia observada de éste : p(s1) = fr(s1).
Y así podemos construir un histograma de frecuencias relativas y un histograma de frecuencias relativas acumuladas. En el primero, la fr(X £ x) será la suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a x; lo que, geométricamente, es el área bajo la curva de frecuencias entre el inicio de la gráfica y el valor x. La obtención de fr(X £ x) en la segunda gráfica es más rápido pues, fr(X £ x) es la frecuencia acumulada del valor x y se lee directamente de la gráfica.
A partir de una situación real con densidades de frecuencias se crea un modelo teórico con asignación de probabilidades.
Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en un intervalo [a, b]. Si procedemos a dividir el intervalo cada vez en más partes el polígono de frecuencias relativas (densidades de frecuencias) se va aproximando a una curva con un determinado aspecto.
Una vez realizado este proceso de dividir sucesivamente el intervalo, las densidades de frecuencias pasan a ser, en el límite, densidades de probabilidad.
La probabilidad de que la variable X tome los valores entre x0 y x0+h es P(x0 £ X £ x0+h) y corresponde al área bajo la curva en el intervalo [x0 , x0+h]. La función correspondiente a esta curva, y=f(x), la denominamos Función de densidad.
FUNCIÓN DE DENSIDAD Una función y=f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones :
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN En general, la función de distribución de una variable aleatoria continua X es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X, y debe cumplir, evidentemente, estas propiedades: · Ser creciente · Tomar valores de 0 a 1 Si X es una variable aleatoria continua con valores en un intervalo [a, b], entonces F(x) será la probabilidad de que la variable X tome valores entre a y x. F(x)=P(a £ X £ x).
Es decir, la función de distribución F(x) es una primitiva de la función de densidad f(x), o dicho de otra forma, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.
Indica la probabilidad de que la variable aleatoria continua X sea menor o igual que un valor dado, es decir, proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable.
PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas, se definen la esperanza matemática o media m , la varianza s2 y la desviación típica s de una variable aleatoria continua de la siguiente forma :
TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media m y desviación típica s , la variable Y=(X-m)/s tiene de media 0 y de desviación típica 1, y se llama tipificada de X. Podemos decir que mide la desviación de X respecto de su media, tomando como unidad la desviación típica de X.
