VALOR PRESENTE Y FUTURO (INTERES COMPUESTO) Conceptos básicos
- Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés i y durante N periodos.
- Tasa de interés periódica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversión de los intereses a capital.
- Periodos de conversión, N: Tratándose de rendimientos efectivos, N son los periodos de conversión durante los cuales se invierte o se presta P.
- Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la transacción. Equivale a un pago único futuro en N, equivalente a un pago único presente ahora.
2.2.2. Esquema de pagos únicos equivalentes A continuación se ilustra el esquema de pagos únicos a través del diagrama de flujo de caja:
Los intereses obtenidos periódicamente se han reinvertido o capitalizado hasta el final de los períodos de conversión. (1 + i ) N: Se conoce como el factor que convierte un pago único presente en un pago único futuro equivalente a una tasa de interés i y en N periodos. Las aplicaciones del esquema de pagos únicos: 1. Dados los valores del valor presente, la tasa de interés y los periodos de conversión, hallar el valor futuro.
Ejemplo 1. Hallar el valor futuro de $1 millón, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo de 2 años. Definamos los valores de las variables así: P = 1.000.000 i = 5% periódico trimestral N = 8 periodos trimestrales. Nota: La periodicidad de la tasa de interés debe coincidir con la periodicidad del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de interés determina la periodicidad. Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la formula que determina el valor futuro:
F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8 = $1.477.455. El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000. siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemáticas financieras supone siempre la reinversión a la tasa de interés periódica. 2. Dados los valores del futuro, la tasa de interés y los periodos de conversión hallar el valor presente. Ejemplo 2. Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual. F = 2.000.000 i = 2% mensual N = 36 meses. F = P * (1+ i)N , despejamos el valor de P. P = F * (1+i)- N. (1+ i )-N: Es el factor que convierte un pago único futuro de valor F, en un pago único presente de valor P equivalente. Diagrama de flujo de caja:
P = 2.000.000 * (1+.02)−36 = $980.446. Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P que invertido ahora a una tasa de interés i y en N periodos será igual a F. Lo anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2.000.000. 3. Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de interés, hallar los periodos de conversión. Ejemplo 3. En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de interés es del 1.5% mensual. P=5.000.000 F=10.000.000 i=1.5% mensual.
De F = P * (1 + i)N , despejamos el valor de N. N = log ( F / P ) ÷ log ( 1+ i ). N = log2 ÷ log1.015 = 47 meses aproximadamente. 4. Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversión, hallar la tasa de interés periódica. Ejemplo 4. Una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años alcanza hoy un valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de interés mensual, trimestral, semestral y anual. P = 2.000.000 F = 70.000.000. Mensual: Trimestral: Semestral: Anual: N = 180 N = 60 N = 30 N = 15 i=1.99% i=6.10% i=12.58% i=26.75% Para hallar la tasa de interés periódica, despejamos de F = P * ( 1 + i )N el valor de i. i = ( F / P )1/ N-1. Las tasas periódicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que si la tasa periódica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del año de 26.75%. Así con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa periódica anual del 26.75%, en todos los casos. Bibliografía: Matemáticas Financieras conceptos básicos http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/docs_curso/contenido.html
