1.5 Valor Absoluto y sus Propiedades

Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| y se define por

$

El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite.

Teorema

i) $
ii) $ \ $}
iii) $
iv) $ <=› \hspace10} -a < x < a $}
v) {$ <=> \hspace{10} -a > x \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}

La última propiedad se acostumbra escribir
v) $ <=> \hspace{10} x < -a \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}
pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección entre las dos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con la disyunción y por lo tanto es una unión.

Observando la definición debemos recordar que ﷓x representa el inverso aditivo de x y no necesariamente es un número negativo.

Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4

     Solución.

5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que

   x = 1  ó      x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el conjunto solución es S = {−3/5, 1}.

     Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución de desigualdades

Teorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 <=› x=0 (iii) |ab| = |a| |b| (iv) |a/b| = |a|/|b| (v) |a+b| ‹ |a| + |b| (vi) |x| < a <=› ﷓a < x < a (vii) |x| › a <=> ﷓a>x o x > a

Ejemplo Resolver |2x-1| < 7

     Solución.

Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a

-7 < 2x-1 < 7, y también a

-6 < 2x < 8

-3 < x < 4 Por lo que la solución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3 y no tiene ni máximo ni mínimo.

Resolver |3x+5| › 4

     Solución.

Por la propiedad (vii) del teorema anterior la desigualdad es equivalente a

3x+5 > 4 ó 3x+5 < −4 y esto a su vez a

   x > −1/3   ó       x < −3  y la solución es

     (-oo,−3) U (−1/3,oo). El conjunto no está acotado.



    −4   −3   −2   −1    0    1    2    3    4

Ejemplo Resolver |2x+1| ‹ |x+2|

Solución. FALTA EDITAR

La desigualdad es equivalente a

     |2x+1|
     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < 1   

esto es equivalente a

     |x+2|

     2x+1

﷓1 < ﷓﷓﷓﷓ < 1

     x+2                      ahora analizaremos dos casos

I) Si x+2 > 0, o sea x > ﷓2 tenemos

﷓x﷓2 < 2x+1 < x+2, esto equivale a dos desigualdades]]

﷓x﷓2 < 2x+1 y 2x+1 < x+2,

  ﷓3 < 3x     y      x < 1

  ﷓1< x      y      x < 1,

la solución de este caso es el intervalo

     (﷓1,1)

II) Si x+2 < 0, o sea x < ﷓2 tenemos

﷓x﷓2 > 2x+1 > x+2, esto equivale a dos desigualdades

﷓x﷓2 > 2x+1 y 2x+1 > x+2,

  ﷓3 > 3x     y      x > 1

  ﷓1 > x      y      x > 1, 

La solución de este caso es el conjunto vacío, pues no existe ningún número que sea mayor que 1 y menor que ﷓2 al mismo tiempo.

     Por lo tanto la solución de la desigualdad, la unión de las soluciones de los dos casos es el intervalo (﷓1,1).


     Ejemplo 2.32 Si |x﷓3| ‹ 2 =› |2x﷓6| < e, que valor puede tener e.

     Solución.

|x﷓3| ‹ 2 =› |2x﷓6| < 4 por lo tanto e puede ser cualquier número mayor o igual a 4.

     Ejemplo 2.33 Si |x﷓2| ‹ d  =›  |5x﷓10| < 2 que valor puede tener d.

      Solución.

Vemos que |5x﷓10| < 2 sí

          5|x﷓2| < 2, o sea si

           |x﷓2| < 2/5, entonces d puede tener cualquier valor menor o igual a 2/5.


     Ejercicios.

     Resuelva las siguientes desigualdades

1. x2﷓x﷓20 < 0

2. x(x+1) > 6

3. x(x2﷓2x) > 15x

4. x

     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ > 0
     x2+4x﷓12

5. (x+3)(x﷓1)2 > 0

6. x2 1 x x2

    ﷓ ﷓ x + ﷓ > ﷓ ﷓ ﷓
    2       2   4   4

7. (x﷓1)(4×2﷓8x+3) < 0

8. 2x(3x﷓1)

   ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ < 0
     x+2

9. |7x﷓3| < 4

10. |5﷓2x| ›1

11. |x2﷓2| < 2

12. |x+5| › |3x﷓1|

13. |x﷓2| ‹ |x+4|

14. Encuentre el valor que puede tener e tal que

i) |x﷓2| ‹ 1/2 =› |5x﷓10| < e ii) |x+4| ‹ 1 =› |3x+12| < e iii) |x﷓3| ‹ 3 =› |6x﷓18| < e

15. Encuentre el valor de d tal que i) |x﷓1| ‹ d =› |5x﷓5| < 10 ii) |x+2| ‹ d =› |2x+4| < 1 iii) |x+5| ‹ d =› |3x+15| < 2

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