Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Dt1 y lleva una velocidad v1 (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Dt2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.
Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.
Componente normal (Dv)n=v2·senf -v1·sen(-f )=2(v2+v1)·senf
Componente tangencial (Dv)t=v2·cosf -v1·cos(-f )= (v2-v1) cosf
Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Dv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.
La partícula recorre el arco AB de ángulo 2f empleando un tiempo Dt=Dt1+ Dt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es
La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,
En el límite cuando el intervalo de tiempo Dt® 0, o bien cuando f ® 0, se cumple que, senf / f ® 1, cosf ® 1. La velocidad media <v>® v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio (v1+v2)/2® v.
De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.
En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.
Las componentes de la aceleración serán, por tanto,
Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal
En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo q con el eje X.
El vector posición r de la partícula es
r=xi+yj=r·cosq i+r·senq j
El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo
El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad
El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.
La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia
an=w2r=v2/r,
La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria
at=a r=dv/dt.
Deducción alternativa de la aceleración normal (I) Supongamos que el cuerpo describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.
El vector velocidad v es tangente a la trayectoria y es perpendicular al vector posición r.
Las componentes rectangulares del vector velocidad v son
Como v/r es constante, las componentes del vector aceleración a son
El módulo de la aceleración a en el movimiento circular uniforme es
Su dirección es radial (la misma que el vector r) y su sentido es hacia el centro (de sentido contrario al vector r).
Deducción alternativa de la aceleración normal (II) En esta sección, se describe la deducción más simple que se ha encontrado de la fórmula de la aceleración normal en un movimiento circular uniforme
El vector velocidad v se define
Su módulo para un movimiento circular uniforme es
Siendo P el periodo o tiempo que tarda en completar una vuelta
Su dirección es tangente a la trayectoria, es decir, perpendicular al vector r
El vector aceleración a se define
El vector aceleración a se obtiene a partir del vector velocidad v, de la misma manera que el vector velocidad v se obtiene a partir del vector posición r. Su módulo será, análogamente,
Su dirección es tangente a la circunferencia de radio v, es decir perpendicular al vector v. Como vemos en la figura, los vectores a y r tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.
