Una primera propiedad de la trasformada es su continuidad.
Proposición 7 Continuidad de la transformada.
Sea f : [0,+∞) → R una función continua por tramos y de orden exponencial α,
entonces su transformada de Laplace es continua en (α,+∞).
Existe una importante relación entre las transformadas de una función y de su derivada, cuya importancia radica en el amplio uso que puede hacerse de ella en la resolución de problemas de valores iniciales. De hecho, esta es una de las herramientas más potentes para este tipo de problemas.
Teorema 8 Sea f : [0,+∞) → R continua y con derivada continua por tramos que es además de orden exponencial, entonces
L[f0(x)] = sL[f(x)] − f(0).
6 La igualdad del teorema 8 admite esta GENERALIZACIÓN: supongamos ahora que existe f00 y que al igual que f0 en el teorema, es continua por tramos y de orden exponencial, asimismo supongamos que f0 es continua, entonces
L[f00(x)] = sL[f0(x)] − f0(0)
pero al sustituir L[f0(x)] por su valor, resulta
L[f00(x)] = s2L[f(x)] − sf(0) − f0(0)
El razonamiento puede generalizarse, y admitiendo que fn) es continua por tramos, de orden exponencial y que fn−1) es continua, podemos escribir
L[fn)(x)] = snL[f(x)] − sn−1f(0) − sn−2f0(0) − · · · − sfn−2) (0) − fn−1) (0)
igualdad que puede demostrarse usando el método de inducción.
Existe, también, una interesante relación entre las transformadas de una función y de sus primitivas
Teorema 9 Sea f : [0,+∞) → R continua por tramos y de orden exponencial, entonces L∙Z xaf(t)dt¸=1sL[f(x)] −1sZ a0f(x)dx.
Dos propiedades relativas a la derivación e integración de transformadas de Laplace son las siguientes.
Teorema 10 Sea f : [0,+∞) → R una función continua por tramos, de orden exponencial α y tal que existen L
∙ f (x) x ¸ y R ∞ s F(p)dp siendo F(s) = L[f(x)], entonces Z ∞ s F(p)dp = L ∙ f (x) x ¸ Teorema 11 Sea f : [0,+∞) → R una función continua por tramos y de orden exponencial α, entonces L[f(x)] es derivable para todo s > α y se verifica que F0(s) = −L[xf(x)] Los siguientes resultados establecen relaciones entre los comportamientos de una función y de su transformada, para valores grandes o pequeños de las variables. 7 Proposición 12 Sea f : [0,+∞) → R continua por tramos y de orden exponencial, entonces su transformada verifica lim s→∞ F(s) = 0 Teorema 13 Teorema del valor inicial Sea f : [0,+∞) → R continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial, entonces lim s→∞ sL[f(x)] = f(0) Teorema 14 Teorema del valor final Sea f : [0,+∞) → R continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial α siendo α negativa, entonces lim s→0 sL[f(x)] = lim x→∞ f(x)
