Función escalón
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside se define como
Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .
Solución La función está dada por
y su gráfica se muestra en la figura 1.5
Figura 1.5
Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo Trazar la gráfica de la función .
Solución La función está dada por
Figura 1.6
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo Use la función de Heaviside para reescribir la función
Solución Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
se escribe usando la función de Heaviside como
Transformada de la función Heaviside
La transformada de la función de Heaviside es
Demostración
Usando la definición de transformada
Función Gamma
Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1
Resultado.
Obtener la función gamma de ( x+1) :
Integrando por partes:
Resultado.
Generalizando tenemos que:
Esta es la propiedad más importante de la función gamma.
Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) = ;siendo n un entero no negativo y, t ;
L { } =
si sustituimos
tenemos que L{}= Resultado
La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Transformada inversa de Laplace
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,
Ejemplo Calcule
Solución Puesto que
tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito. Comportamiento de en infinito
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces
Demostración
Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este intervalo; o sea, para todo . De donde
y así cuando , de modo que cuando .
Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.
Ejemplo ¿ Por qué no existe una función tal que ?
Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional es la transformada de alguna función si el grado del numerador es menor que la del denominador .
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.
Teorema Del valor inicial
Si y existe y es igual a , entonces
Demostración: Como
y
siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que
siempre y cuando sea continua por la derecha en .
Ejemplo Si , calcule .
Solución Usando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular .
Teorema Del valor final
Si y el límite existe, entonces
Demostración: Análoga a la anterior.
El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.
Teorema Linealidad de la transformada inversa
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo tales que y , entonces
Ejemplo Calcule
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
en fraciones parciales
ahora sí
Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante . .
Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:
Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción
Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si , la gráfica de se desplaza unidades a la derecha, miéntras que, si , la gráfica se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir
donde significa que se sustituye por en .
Ejemplo
Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular
Solución
Ejemplo
Calcule
Solución Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador
Forma inversa del segundo teorema de traslación:
Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función haciendo :
Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.
Ejemplo Calcule
Solución
En este caso y
con lo cual
Ejemplo Calcule
Solución Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales
con lo cual
Ejemplo Calcule
Solución Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.
En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:
y
Y de aquí
Solución de ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.
Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial
Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que
Y al aplicar la transformada inversa
La gráfica de la solución se muestra en la figura 1.10
Figura 1.10
Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial
donde está dada por
Solución
La función puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.
Primero usemos la función de Heaviside para reescribir :
Aplicando transformada tenemos que
Al aplicar la transformada inversa obtenemos
La gráfica de se muestra en la figura 1.11.
Figura 1.11
Ejemplo Resolver el siguiente problema de valor inicial
Solución En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil.
0 0 0
Integrando obtenemos que
De donde obtenemos que
Una aportacion de los estudiantes del la UAC.
