Trasformada De Integrales Teorema
Estas integrales se interpretan según el valor principal de Cauchy (VPC) en t=x.La primera integral arroja la HBT de f (HBT[f]),mientras que la segunda integral ofrece latransformada inversa de Hilbert.Ejemplo 3.6: Cálculo de la HBT de una funciónSea f(t)=cos t . Su HBT es: g(x)= -sen x .
Esta transformación puede comprobarse medianteintegración por residuos.Ahora se dan ciertas condiciones bajo las cuales el par transformado de Hilbert es válido.Algunas de estas condiciones son fáciles de aplicar en reconstrucción de imágenes:(a) La integral de Hilbert existe en casi cualquier lugar.(b) La inversión de g(x)=HBT[f(t)] lleva a f(t) en casi cualquier lugar.© Las normas de f y g son idénticas: .He aquí algunas notas sobre esta transformación:
1.- La HBT de una constante es cero.2.- HBT[HBT[f]]=-f3.- Las funciones f y HBT[f] son ortogonales, es decir:
Transformada de Hilbert. Página 2g(t)=f(t)+k , entonces, ambas tienen la misma HBT.A continuación, comentaremos algunas propiedades de la HBT, así como su relación con latransformada de Fourier.Para ello, es importante hacer notar que HBT[f] es una convolución de f(t) con −1/(Bt):Por otrolado,latransformadade Fourier de viene dada por: j sgn(u), siendo sgn(u)la función “signo de u”:Según esto, si F(u) es la transformada de Fourier de f(t) , entonces la transformada deFourier de HBT[f] es igual a j sgn(u) F(u) .Ejemplo 3.7: Cálculo de la transformada de Fourier de la HBT de una funciónSea Si f satisface la condición de Lipshitz: *f(t+h)-f(t)*#mA*h*y la integral de f estáuniformemente limitada, esto es, existe un número M>0 tal que:,
Transformada de Hilbert. Página 3entonces HBT[f] existe casi en cualquier lugar y, además, .
Ejemplo 3.8: Aplicación del teorema anteriorYa vimos en el Ejemplo 3.6 que HBT[cos t]=g(x)= -sen x .Como *f ‘ (t)*#1 [ En la condición de Lipshitz, llevando el término*h*al primer miembrode la desigualdad, queda el módulo de la definición de la derivada de f(t) ] , f(t) satisface lacondición de Lipshitz conm=1.Además, . De ahí que: .Ejemplo 3.9: Aplicación del anterior teorema a la función SINC Definimos? la función sinc(t) como. Puede comprobarse que *f ‘ (t)*#1, conloquecumplelacondicióndeLipshitzconm=1,yademás,.Como consecuencia de esto, .La transformada de Fourier de HBT[f] es, como ya se vió, la siguiente:HBT[f] øj sgn(u) F(u)donde F(u)=B, para −1#u#1 [ 0 , resto ] es la transformada de Fourier de f(t).Tomando la transformada inversa de Fourier de j sgn(u) F(u), tenemos que:SÍNTESIS* Las normas de una función y su HBT son idénticas.* La HBT de una constante es cero.
Transformada de Hilbert. Página 4* Tomar la HBT de la HBT de una función equivale a multiplicar a la función por (−1).* Una función y su HBT son ortogonales.* La HBT de una función se consigue convolucionando dicha función con −1/(Bt).* La transformada de Fourier de la HBT de una función se consigue multiplicando a la transformada de Fourier dedicha función por j sgn(u).