5.5 TRANSFORMACIONESY SISTEMAS ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así : un sistema así expresado tiene “m” ecuaciones y “n” incógnitas,
donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, …, sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, … , xn por los valores s1, 2, …, sn se verifican a la vez las “m” ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
Donde: • Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. • Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. • Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
Y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir
CLASIFICACIÓN Atendiendo a sus soluciones:
Atendiendo a sus términos independientes:
Discusión de un s.e.l.:
Generalmente, para la discusión de un s.e.l., utilizamos el Teorema de Rouché-Fröbenius. « Un s.e.l. es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes. Si estos rangos son distintos el sistema es incompatible. » Es decir, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que r(A) = r(A*),
• Si el número de incógnitas n es igual al rango h , la solución es única. • Si el número de incógnitas n es mayor que el rango h, el sistema tiene infinitas soluciones. • Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el número de ecuaciones linealmente independientes.
Para los sistemas indeterminados la solución puede hallarse despejando k incógnitas principales en función de (n-h) incógnitas denominadas parámetros y que pueden tomar cualquier valor ( grados de libertad ).
Caso particular: Sist. Homogéneos
Como un sistema homogéneo es aquel que tiene todos sus términos independientes nulos, podemos observar que r(A) = r(A*) siempre, luego siempre son compatibles, ya que tienen al menos la solución (0, 0, 0, … , 0) que se denomina solución trivial. Puesto que, en la práctica, esta solución carece de interés, suele decirse que un sistema homogéneo posee solución sólo si esta es distinta de la trivial.
Si un sistema homogéneo presenta una solución distinta de la trivial : (s1, s2, … , sn) entonces se cumple que son también solución todas las proporcionales a ella : ( k•s1, k•s2, … , k•sn) , para todo número real k.
Ejemplo:
