4.1.2 Tipos de Sistemas Numéricos
Sistema binario.
Recordemos que la representación de un número en el sistema posicional es una cadena de símbolos básicos los cuales se forman de acuerdo a la base.
Para no confundir los números a la representación en otra base distinta de diez se le escribirá dicha base al terminar el numeral que representa el número.
Ejemplo: 2468 significa que está en base 8.
43025 significa que está en base 5. 10100112 significa que está en base 2.
La base que se va a utilizar, por ahora, es la base 2, tiene la ventaja de que utiliza sólo dos símbolos, llamados bits. Conjunto de bits {0,1}.
A la representación en base 2 se le llama también representación binaria.
Ejemplo: 100112 = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 X 21 + 1 x 20
= 16 + 2 + 1 = 19 ( al no aparecer base la base indicada, significa base 10) 110.10112 = 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2–1 + 0 x 2–2 + 1 x 2–3 + 1 x 2–4 = 4 + 2 + 0 + .5 + .125 + .0625 = 6.6825
Para representar un número que está en base 10 en sistema binario, deberá agruparse de dos en dos (en lugar de diez en diez que fue lo que se hizo en el sistema decimal).
Por ejemplo, analicemos el número 7
Si agrupa en pares se tienen tres pares y una unidad, si se agrupan en pares de duplos se obtiene un par y un duplo \ 7 = 1112 como en la figura:
Para entender mejor el sistema binario considere unas celdas donde se pueden escribir los símbolos 0 ó 1 (bits) y piense que cada celda tiene un valor dado por la siguiente figura:
26 25 24 23 22 21 20 2–1 2–2 êê úú çê êç çê êç çê êç çê 64 32 16 8 4 2 1 ½ ¼
Asi el número 10112 lo analizamos
1 0 0 1 1 24 23 22 21 20 16 8 4 2 1
y su representación en base 10 es 16 + 2 + 1 = 19.
Para convertir de base 10 a binario el algoritmo resulta muy sencillo, se divide entre 2 y se anota el cociente bajo el número y el residuo se a la derecha, se aplica iterativamente este procedimiento hasta llegar a 0 y al final el resultado es la cadena de bits de abajo hacia arriba.
Ejemplo 1: convertir a binario 49
49 1 49= 1100012 24 0 12 0 6 0 3 1 1 1 0
Ejemplo 2. Convertir 123 a binario:
123 1 123=11110112 61 1 30 0 15 1 7 1 3 1 1 1 0
Como en el sistema binario sólo hay 2 dígitos la adición y la multiplicación resultan muy simples:
Adición Multiplicación
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 10 1 0 1
Apliquemos el procedimiento de la suma que usamos en el sistema decimal ya que tambien los algoritmos son similares:
11 111
100112 110112
+10012 +11102
111002 1010012
1111 1
1101.0112
+ 110.112
10100.0012
Video operaciones base 2
La multiplicación también es semejante:
1101 101.101 x110 x 1.01
0000 1011 01
1101 00000 0
1101 101101
1001110 111.000 01
La resta 1
10 10 10 10 10
1 1 0 1 1 1 0 0 1 . 0 1
- 1 1 0 1 - 11 0 . 1
1 1 1 0 010 . 1 1
La división
Dividir 1011.1 entre 1.01 1001
101 101110
−101 10 0 110 - 101 001
Nota: Para la operación de resta veremos un algoritmo en base a complementos y sumas donde no intervienen comparaciones por lo que resulta más simple en computación.
Representación Octal y Hexadecimal
Para la base 8 se utilizan los octales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y, para convertir de base octal a decimal ó viceversa el procedimiento es similar al que se presentó en el sistema binario.
Ejemplo: 510728 = 5 x 84 + 1 x 83 + 0 x 82 + 7 x 81 + 2 x 80 = 21,050
Convertir de decimal a octal
Ejemplo:
381 5
47 7 5 5 0 381 = 5758
Para convertir de octal a binario, o de binario a octal se puede lograr de manera más sencilla con el uso de la siguiente tabla:
Binario octal
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7
Ejemplo:
4 7 1 38 100 111 001 011 Osea que 47138=1001110010112
Ejemplo: 110111011102
Primero completar de derecha a izquierda de tres en tres agregando ceros al final si es necesario.
011 011 101 110 3 3 5 6
O sea
110111011102=33568
Las operaciones de adición y multiplicación en base 8 se realizan similar a base 10 ya que se utiliza el principio posicional.
Para poder aplicar los algoritmos de la suma y la multiplicación es conveniente tener a la mano las tablas de la suma y la multiplicación.
Suma: La tabla de la adición:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16
Ejemplos de sumas:
45268 25.0368 +3718 + 461.158 51178 506.2068
Multiplicación: Para la multiplicación se tiene la tabla:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61
Ejemplo
14
25 6 427
- 56 3 3
3212
2563 4 31042
Video operaciones base 8
La importancia de este ejercicio es que el alumno se acostumbre a que la repesentación es relativa y la “tabla“ de multiplicar cambia con respecto a la base.
Es importane que el número 238 se enuncie dos tres base ocho
Un aspecto interesante es la multiplicación rápida por 7 , donde se puede ver la analogía del número 9 en base 10 con el número 7 en base 8.
Nota: En la sección 1.6 de Aritmética modular se verá lo que se llama la “prueba de la multiplicación” en base 8, la cual es similar a la de base 10, pero utilizando módulo 7 en lugar de módulo 9 que es el que se utiliza en base 10.
Base dieciseis.
Sistema Hexadecimal
Numerales primarios = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Estos numerales primarios corresponden a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 en base 10.
La representación en base 16 utiliza el mismo principio:
Así A52716 = 10 x 163 + 5 x 162 + 2 x 161 + 7 x 160
= 10 x 4096 + 5 x 256 + 32 + 7 = 40960 + 1280 + 32 + 7 = 42279
De manera inversa, si un número está en base 10, dividimos entre 16 aplicando el algoritmo que se utilizó en base 2 y en base 8.
4325 = ? 4325 5 4325=10E516 270 E 16 0 1 1 0
Para convertir de binario a hexadecimal o viceversa podemos usar la siguiente tabla: Binario Hexagecimal 0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111 0123456789ABCDEF
Ejemplo:
A D 5 316 es
1010 1101 0101 0011
o inversamente 1011011010100012 es
0101 1011 0101 00012 = 5B5116
5 B 5 1
La adición y la multiplicación en base 16 tambié se puede realizar como en base 2, 8 o 10 y se requieren las tablas
Suma: Tabla
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
Ejemplo:
1
69A3816
B 09 C 616
11A3FE16
La multiplicación Tabla:
Ejemplo
2 2
7 62
3A83 x 4C 9
2BE24 9 9
EAOC
115EE4 1
Nota: La “prueba“ de la multiplicación es módulo F, se verá en la sección 1.6.
1.5 Complementos.
Es más fácil programar en una computadora varias sumas que una resta con el algoritmo tradicional pues en este caso se require el uso de memoria y de instrucciones condicionales con variables booleanas.
Por lo que conviene hacer las restas con el algoritmo de complementos en el cual se emplean solamente sumas.
Ilustremos el caso con un ejemplo en base 10.
complemento
8572 3050
−6949
+1
3051
suma
8572
+3051
11623
Restamos 10,000
1623 que es el resultado correcto.
Para el cálculo del complemento ya que es una resta a una cadena de 9’s, es muy fácil, basta considerar el complemento a 9 de cada dígito, se puede usar la siguiente tabla:
Dígito Complemento 0 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 9 0 Así el complemento de 4526 es 5473 y el de 9047 es 0952.
Ejemplo No. 2
c
4906 7511
−2488
+1
7512
+
4906
+7512
12418
Resultado 2418.
Claramente ésto no es exclusivo de cifras de 4 dígitos.
Ejemplo No. 3 C +1
92705 53813 53814
−46186
92705
+ 53814
1 46519
Algoritmo tradicional:
Minuendo 8572 A
sustraendo −6949 - B resta 1623 A - B
Justificación del nuevo algoritmo usando complementos con 4 dígitos.
A – B = A – B + 9999 + 1 – 10000
= A + (9999-B) + 1 – 10000
complemento de B
Por lo que restar dos número de 4 dígitos es equivalente a:
Algoritmo:
1. Calcular el complemento del sustraendo (restarlo de 9999) 2. Sumarle uno 3. Sumar el resultado al minuendo 4. Restar 10,000.
Ejemplo: El ejemplo anterior quedaría:
8572 c +1
- 6949 3050 3051
8572
3051
11623 1623
En el caso de que el sustraendo fuera mayor que el minuendo, no aparece en el resultado el numeral 1 al principio que debe eliminarse, esto se debe a que la cantidad resultante es negativa por lo que se debe obtener de nuevo el complemento, sumarle 1 y cambiar el signo.
Justificación:
A-B = A + (9999 – B) + 1 – 10000 A-B = - (9999 – (A + (9999-B)+1) + 1)
Complemento +1 Del sustraendo Complemento más 1 del resultado Cambio de signo
Ejemplo:
4705 c +1 suma 4705
−6292 3707 3708 3708
8413
+1 c
1587 1586 no aparece 1 en el 5to.
cambio lugar
de signo −1587
De esta forma pueden realizarse todas las restas en cualquier base, la justificación es similar a base 10.
Aunque parezca muy complicado, en la computadora es un sencillo procedimiento que resulta más directo.
Restar en módulo 2:
Ejemplo 1:
c
1010012 1010012
−101102
+1
1010012 suma 1010102
+1010102
10100112
Respuesta: 100112
Nota: Antes de restar dos números con este algoritmo deben de tener la misma cantidad de cifras, por lo que se debe completar con ceros a la izquierda en caso necesario.
Ejemplo 2:
1010010 C 010010110
101101001 +1
010010111
1010010 +
011101001
011101001
100010110
C +1
100010111
cambio de signo
−100010111
Restar base 8:
47058 c 45108
−32678 +1 47058 suma 4511 45118 114168
Tabla de complementos:
Resta Base 16:
Tabla 4A9316 c DA 48 Número Complemento −25B716 0 F +1 1 E 2 D 1 3 C 4A9316 + DA 49? 4 B DA 4916? 5 A 124DC16 6 9 7 8 Respuesta. 24DC16 8 7 9 6 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 F 0
1.6 Artimética Modular
En la práctica se utiliza comunmente la aritmética modular, por ejemplo para contestar las siguientes preguntas:
¿Qué día de la semana es hoy?
¿Qué hora es?
Es obvio que nadie contesta es el día 729,620 d.c., ó es la hora 17,510,890. Constestan: es el día 3 ó son las 10. Esto se debe en los días se identifica el 8 con el 1, el 9 con el 2 o el 729,620 con el 3 y en las horas se identifican el 25 con el 1, el 26 con el 2, y el 17,510,890 con el 10.
Esto se hace simplemente identificando dos números que tengan un mismo residuo al dividirse por 7 en el primer caso ó por 24 en el segundo.
A esta identificación se le llama congruencia modular y se representa: º (mod.)
Definción. A º B (mod n) si A y B tienen el mismo residuo al dividir por n.
A es congruente a B módulo n.
Así 7 y 4 son congruentes módulo 3 ó sea 7 º4 (mod 3). También 17 º 5 (mod 12), por lo que las 17:00 horas son las 5:00 de la tarde.
La aritmética modular no sólo se usa para medir el tiempo, en computación se utiliza para codificar archivos y detectar si han sido modificados por ejemplo por algún virus, también es muy útil en otro tipo de codificaciones donde se utiliza la Teoría de Números.
Nos enfocaremos en los residuos módulo 9, 7 y F, que son los casos a los que se hace referencia en las “pruebas” de la multiplicación para las bases 10, 8 y 16 respectivamnete. Sin embargo primeramente ilustraremos la idea en general para los enteros módulo 6 en base 10.
Como los enteros en la aritmética modular se identifican con los residuos al dividirse entre 6, solamente se utilizan los numerales: 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
Así por ejemplo el 6 es 0, el 15 es 3 y el 239 es 5.
En el Artimética Modular se puede definir la suma y la multiplicación de una manera obvia y construir su tabla, en el caso de los residuos módulo 6 tenemos:
Tabla de la suma:
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 0 2
5 5 0 1 2 3 4
Lo primero que podemos observar es que esta aritmética tiene varias propiedades de los números reales, por ejemplo la ley conmutativa, esta se ve inmediatamente por la simetría de la tabla.
Tambié tiene un elemento neutro, el 0 y cada elemento tiene un inverso aditivo, el 1 y el 5, el 2 y el 4 y el 0 y el 3 son inveros de inversos de si mismos. Este comportamiento es diferente a los números reales ya que en dicha álgebra el único inverso de sí mismo es el 0.
- 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Aquí también vemos que se cumple la ley conmutativa, también con la tabla se puede comprobar la ley asociativa y la distributiva. Tenemor elemento neutro, el 1. Pero ya no todo número diferente de cero tiene inverso, los únicos números con inverso son el 1 y el 5.
Aquí también notamos un aspecto interesante que no se presenta en los enteros, ni en los números reales; hay dos números que su producto es 0 y sin embargo ninguno de los dos es 0.
Esto es: 2 * 3 = 0
En general en los enteros, si a * b = 0 entonces por lo menos uno de los dos enteros debe ser 0, cualquier estructura algebraica que la cumpla se dice que es un dominio integral, por ser una de las propiedades básicas de los enteros. Por lo tanto el álgebra formada por las clases residuales módulo 6 no son un dominio integral.
Existe una teoría completa referente a las clases residuales llamada aritmética modular pero por ahora nos concentraremos en las pruebas de la multiplicación.
Enteros módulo 9. (Base 10)
Similar a lo que hicimos en mádolo 6 lo podemos hacer para módulo 9 y la tabla de la suma sería:
Aplicación:
Veamos la multiplicación en base 10 en la sección 1.2
425 425º2 (mod 9)
67 67º4(mod 9)
2975 \ 425×67 º2 x 4 (mod 9)
2550 º 8 (mod 9)
28475
Esto es congruente mod 9 es: 28475º8(mod 9)
2 2 x 4 8 8 8 4
Con la tabla de la suma módulo 9, se puede verificar que sumando los dígitos de un número se obtiene uno congruente.
425 º 4 + 2 + 5 ( mod 9) º 11 (mod 9) º 2( mod 9)
Teorema: En base 10 cualquier número es congruente módulo 9 al número que se obtiene sumando sus dígitos.
Por lo que la “ prueba ” resulta muy sencilla.
Enteros módulo 7 en base 8.
Sólo hay 7 números distintos {0,1,2,3,4,5,6} pues 7º0 (mod 7), 10º1 (mod 7), etc.
Nota: Recuerda que la suma es en base 8.
Equivalente a base 10, en base 8, para obtener un número congruente mod 7, se suman sus numerales así:
4+2+7 Nota: 68×48=308
4278 6
x 568 producto 3 3
3212 base 8
2563 4
3104288
5+6
3+1+0+4+2
Suma en módulo F en base 16.
Multiplicación en base 16 (Prueba)
3+A+8+3 D+8+3 6+3
9
3A8316
4C16 producto 9 9
2BE24 4+C base 16
EA0C 1
115EE416
1+1+5+E+E+4=7+E+E+4
= 6+E+4
= 5+4
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