Introducción a la teoría de la probabilidad
Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción. Dos estudiantes de Instituto intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar una coca-cola y si la moneda cae de canto, estudiarán.
La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.
Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?
Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.
Supongamos por el momento que denotamos por p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p.
Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz sigue que 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:
Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar :
Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire
Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz.
Unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.
Vamos a definir de manera más precisa cada uno de los elementos que intervienen:
Experimento aleatorio Es el experimento que se caracteriza porque su desarrollo no es previsible con certidumbre.
Espacio muestral Asociado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. Lo designamos con la letra E y colocamos sus elementos entre llaves y separados por comas.
Suceso De un experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Los designamos por letras mayúsculas: A,B,C,…, ponemos sus elementos entre llaves y separados por comas.
Observación : Un resultado concreto de un experimento es un elemento del espacio muestral asociado al experimento, conceptualmente suceso y resultado son dos cosas distintas. Los resultados de un experimento aleatorio se suelen representar con letras minúsculas, los sucesos con letras mayúsculas.
En el ejemplo anterior, el suceso A ocurre siempre que el resultado del experimento sea el elemento 2, el elemento 4 o el elemento 6.
La confusión entre suceso y resultado se debe a que cuando el suceso es : “ que al lanzar un dado salga 2″ y el resultado :”sale un dos al lanzar el dado”, sólo ocurre el suceso cuando el resultado es 2.
Suceso : “Sale un dos” es el subconjunto {2} del espacio muestral
Resultado : “Sale un dos” es el elemento 2 del espacio muestral
Funciones de distribución El paso siguiente es asignar (distribuir) probabilidades. Las definiciones que siguen están motivadas por el ejemplo del lanzamiento de una moneda, recordamos que en ese ejemplo a cada resultado del espacio muestral le asignabamos un número no negativo tal que la suma de todos los números asignados a cada resultado deberá ser 1.
Definición Sea X una variable que representa a los posibles resultados de un experimento aleatorio, en principio vamos a asumir que este experimento tiene sólo un número finito de posibles resultados. Sea E, el espacio muestral del experimento. Una función de distribución para X es una función real f cuyo dominio es E y que satisface: (abra el vinculo para observar procedimiento)
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tprobabilidad1.htm
Ejemplo: Sean tres equipos de futbol, a, b y c que se presentan a un torneo de verano, sólo uno ganará el torneo. El espacio muestral es el conjunto de tres elementos, E={a,b,c}, donde cada elemento corresponde al triunfo de cada uno de los equipos. Suponemos que a y b tienen las mismas posibilidades de ganar y c tiene solamente la mitad de las posibilidades de ganar que a. Debemos asignar probabilidades de modo que :
Sea el suceso A, “gana el trofeo el equipo a” ; el suceso B, “gana el trofeo el equipo b” y el suceso C, “gana el trofeo el equipo c”. En el lenguaje de la teoría de conjuntos: (abra el vinculo para observar procedimiento)
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tprobabilidad1.htm
En este último caso se puede apreciar como un suceso se puede describir en términos de otros sucesos utilizando las construcciones standard de la teoría de conjuntos.
Las representaciones gráficas de las construcciones de la teoría de conjuntos se llaman diagramas de Venn. En ocasiones es muy conveniente para resolver un problema de probabilidad hacer la representación gráfica del espacio muestral y de los sucesos (subconjuntos del espacio muestral) que intervienen en el problema.
