MODELO DE BOHR-SOMMERFELD
En 1915, dos años después de presentado el modelo de Bohr, éste fue extendido por A. Sommerfeld y W. Wilson.
Estos dos científicos plantearon por primera vez una regla de cuantización de la acción:
acción = energía x tiempo = energía/frecuencia
energía = masa x velocidad2= masa x velocidad x longitud/tiempo
acción = masa x velocidad x longitud.
Cada vez que se presente una acción debe hacerse igual a un múltiplo entero de la constante de Planck.
Ejemplo: en el modelo de Bohr la condición de cuantización es:
Acción = mv(2pr) = nh
mvr = nh/2p
MODELO DE BOHR-SOMMERFELD
Ejemplo: Aplique el principio de cuantización de Sommerfeld y Wilson a un electrón que se mueve en un segmento de recta de longitud a.
Si la velocidad está cuantizada, la energía cinética estará cuantizada:
MODELO DE BOHR-SOMMERFELD
Sommerfeld y Wilson aplicaron su regla de cuantización a un electrón girando en una órbita elíptica.
Hay dos grados de libertad en el movimiento elíptico en un plano.
En el movimiento elíptico hay dos grados de libertad, por lo cual existen dos tipos de acción: la acción radial y la acción angular.
Aplicaron su regla de cuantización a cada una de estas dos acciones, de donde aparecen dos números cuánticos:
De estas dos ecuaciones obtenemos que la regla de cuantización impone condiciones sobre la naturaleza de las elipses:
Orbitas elípticas de Sommerfeld donde se ha empleado la notación nk. ao es el radio de Bohr para la primera órbita.
MODELO DE BOHR-SOMMERFELD
La energía en el modelo de Bohr-Sommerfeld es la misma que en el modelo de Bohr:
Existe una tercera regla de cuantización aplicable, al seleccionar el plano sobre el que gira la órbita elíptica, de la que aparece un tercer número cuántico, m, el número cuántico magnético.
Las posibilidades orbitales en tres dimensiones son infinitas, según se escoja el ángulo q.
Vemos que aparecen tres números cuánticos en el modelo de órbitas elípticas de Sommerfeld y Wilson.
