Teorema (Teorema de Moivre ).
La demostración del teorema anterior se realizó por inducción matemática siendo un entero positivo y un número real. Reduciremos la idea asumiendo como la magnitud de un número complejo, de este modo, dicho teorema nos será de utilidad para determinar potencias -ésimas.
Ejemplo.
Calcular si Determinando el argumento de y su magnitud podemos afirmar que entonces
Definición Se dice que es la representación polar de un complejo para el cual .
Según la definición anterior podemos pensar que y si aplicando las propiedades dputose la potenciación obtenemos . Compara el teorema de Moivre con la expresión para la potencia -ésima de ¿Qué puedes concluir?
Observa que
Actividad 7.
Escribir en la forma polar cada uno de los siguientes números complejos
Calcular si Calcular , expresando el resultado en la forma polar.
y y y y
Analice cada una de las siguientes igualdades y establezca si son verdaderas o falsas. Justificar.
Siendo entonces
Escribir un contraejemplo para la parte © del ejercicio anterior.
Escribir en la forma cartesiana.
¿Será verdad que ?
¿Será verdad que siendo
Si y , calcular los valores de y de para los cuales se cumple que
Sabiendo que , y , escribir el complejo en la forma polar y en la forma cartesiana.
La raíz de un número complejo. La raíz de un número complejo. Supongamos que queremos encontrar los complejos cuya ésima potencia () sea igual a un complejo . En particular, puede representarse como que equivale a siendo Nuestro problema equivale a encontrar las raíces ésimas de . Supongamos que es el complejo que da solución a nuestro problema ( es un real no negativo). Entonces
y para que la igualdad se cumpla se debe tener que
lo que implica
implicando con
Ejemplo 1.
Encontrar Este problema equivale a encontrar los complejos que elevados al cubo sean iguales a siendo
Teniendo en cuenta la propuesta anterior tendríamos que la magnitud de dicho complejo es porque . Strong
Para entonces lo que implica la primera solución
Para entonces
Para entonces
Observa que y que el cubo de cualquiera de los tres es igual a
Se deja al lector el verificar que para se obtiene el mismo recultado que cuando y para se llega al mismo complejo que cuando y así sucesivamente.
Actividad 8.
Escribir los siguientes complejos en la forma cartesiana:
Realizar una representación de los complejos del punto anterior en un mismo plano.
Calcular la tercera potencia para cada uno de los complejos mencionados en el primer punto.
Calcular y expresar en la forma cartesiana:
El complejo cuyo cubo es igual a
El complejo cuyo cuadrado es igual a
Averigua las propiedades de los espacios vectoriales y determina si el conjunto de los complejos es o no un espacio vectorial.
¿Cómo se realiza la suma de vectores de manera gráfica?
¿Cómo se realiza el producto de complejos de manera gráfica?
