El Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función integrable podemos definir una nueva función por para todo . Nuestro próximo objetivo va a ser estudiar dicha función. Recuerda que . Por supuesto, si f es una positiva entonces es el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas y=a, y=x. No debes olvidar en lo que sigue que se ha definido en términos de áreas.
El comando “Area Func[f[x], {x, a, b}, n, {ymin, ymax}]” da como salida n gráficas y en cada una de ellas representa la gráfica de f, la región en azul, y la gráfica de , en rojo, en el intervalo [a,a+k(b-a)/n], para 1<= k <= n. Además, en cada caso da el valor de . Para usar el comando tienes que fijar los valores “ymin” e “ymax” que determinan el intervalo del eje de ordenadas en que se representarán las funciones. Experimenta con distintas funciones y fíjate si la función te resulta conocida en algunos casos. A veces puede ser conveniente considerar funciones de la forma en donde a < c < b y por lo que es necesario precisar lo que se entiende por cuando . El convenio que se hace es que cualquiera sean los números u y v. La justificación de este convenio es que, con él, la igualdad se cumple cualesquiera sean los puntos x, y, z del intervalo [a,b]. Compruébalo.
Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado de f a . Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la función f a partir del conocimiento de la función área de f, es decir, de la función ? Piensa un poco en las operaciones que hay que realizar sobre f para obtener su función área. Dichas operaciones son: evaluar f en algunos puntos del intervalo, multiplicar dichos valores por las longitudes de subintervalos apropiados, sumar todos estos números y pasar al límite. Todo ello queda reflejado en la igualdad que expresa la convergencia de las sumas de Riemann a la integral:
Parece razonable que para invertir el proceso anterior, evaluemos F en puntos x, y del intervalo, hagamos la diferencia F(x) - F(y), dividamos por la longitud del intervalo, , y tomemos límites. Como puedes ver, este proceso nos conduce de forma natural a estudiar la derivada de la función área, F. El resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo, establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de área y el de tangente a una curva.
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces: i) F es continua en [a,b]. ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto siendo . En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para todo x en [a,b].
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x < y son puntos de [a,b] tenemos que:
Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que . Estas dos desigualdades nos dicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad de F en [a, b].
ii) Pongamos
Dado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal que se tiene que . Tomemos ahora un punto cualquiera x ε [a,b] tal que . Entonces es claro que para todo t comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que . Deducimos que para todo x ε [a,b] tal que , x ¹ c, se verifica que:
Hemos probado así que , esto es, F es derivable en c y .
Regla de Barrow
Sea integrable y supongamos que h es una primitiva de f en [a,b]. Entonces .
Fíjate que en el resultado anterior no se supone que f sea continua sino tan sólo que es integrable y que, además, tiene una primitiva. La idea de la demostración es como sigue. Tomemos una partición del intervalo [a,b]. Entonces podemos escribir: donde hemos usado el teorema del valor medio.
