Teorema del Valor Medio y teorema de rolle

jairo mortera velazquez

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Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

Teorema de Rolle:

Si f es una función en la que se cumple:

(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]

(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

f ‘© = 0

El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652–1719).

En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y 

 f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela






 al ejex, es decir donde se cumple que  f ‘© = 0.

El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.

Teorema del Valor medio:

Si f es una función en la que se cumple que:

(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]

(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio.

El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto C en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.

En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio.

En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; © si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal.

En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).