Sistemas De Hilbert

2.6 Sistemas de Hilbert

MI CORREO: lg_vega@hotmail.com para cualquier comentario de anexarle informacion o quitarle profe lomeli

Un poco de historia de David Hilbert

El matemático alemán David Hilbert (1862–1943) fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas científicos, esto es, de partir de un conjunto cerrado e inamovible de premisas para construir la base fundamental de cualquier estudio.

A partir de las fuentes griegas de Euclides, publicó en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización.

Según sus teorias, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las posibilidades con antelación.

Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos (puntos, rectas y planos) a los que podían aplicarse axiomas distribuidos en cinco diferentes categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.

(Königsberg, Prusia (ahora Kaliningrad, Rusia) , 1862 - Gotinga, id., 1943), su padre era juez, y fue destinado al poco de su nacimiento a Königsberg, donde Hilbert recibió su educación y en cuya universidad inició los estudios de matemáticas.

Estudió también en las universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta última a los cursos de Karl Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Leopold Kronecker.

A finales de 1884 se doctoró en Königsberg, poco antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski.

La tesis de Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le propuso su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes había demostrado que «pi» es un número trascendente.

Ejemplos de Hilbert

El sistema del hilbert es sistema deductivo para fórmulas simples, diferente al sistema de gentzen, que es un sistema deductivo, para los sistemas de fórmulas.

Mientras en el sistema de gentzen existe un axioma y muchas reglas, en el sistema de hilbert hay varios axiomas pero solamente una regla, este contiene solamente un teorema que se prueba directamente, el uso práctico del sistema depende del uso de reglas derivadas, especialmente la regla de la deducción.

Axiom 1: ╞ (A → (B → A)).

Axiom 2: ╞ ((A→ (B→ C)) → ((A → B)→ (A→ C)).

Axiom 3: ╞ (¬ B → ¬ A))→ (A → B).

Aquí está una prueba con el metodo de Hilbert que se usa para cualquier formula A, ╞ A →A. cuando un axioma se toma como una justificación, hace que uno pueda identificar qué fórmulas se substituyen para identificar que pasos se siguen en el desarrollo de la fórmula en las letras del axioma.

Prueba del sistema Hilbert.

1. ╞ (A→ ((A→ A)) → A))→((A →( A→ A))→ (A→ A)) ……Axiom 2

2. ╞ A→ ((A→ A) → A) …………………………………………………….Axiom 1

3. ╞ (A→ (A→ A)) → (A→ A) ……………………………………………Mp 3,4

4. ╞ A→ (A→ A) ………………………………………………………………Axiom 1

5. ╞ A→ A ………………………………………………………………………..Mp 3,4