1.1 Sistema Decimal

Pedro Orta 302 1B

Empezaremos por representar los números enteros positivos, o sea:

         N = {Uno, dos, tres, … }

y el conjunto de los número naturales:

         N+ = {Cero, Uno, dos, tres, … }

Debemos distinguir entre un número y su representación, la cual se le puede llamar numeral.

Un número representa la una idea que la cantidad de elementos en un conjunto o cardinalidad.

Por ejemplo si tenemos el conjunto:          {A, B, C }

tiene tres elementos y el conjunto          {&, X, @ }

también tiene tres elementos.

La forma de represntar el número puede ser:

tres, three, 3, . . . , III

La primera represntación es el español
La segunda en inglés
la tercera en el sistema indo-arábigo
la cuarta en numeración maya
la quinta en numeración romana

Todas son distintas representaciones para un mismo número.

Sintetizando

Número: Idea que representa la cantidad de elementos de un conjunto, Sentido Semántico.

Numeral: Símbolo que se usa para representar un númnero, Sentido Sintáctico.

Actualmente se utiliza la representación indo-arábiga para represntar los números , esto es:

el conjunto de los enteros positivos

         N+ = { 1, 2, 3, … }

y el conjunto de los número naturales:

         N = { 0, 1, 2, 3, … }

Se utiliza el sistema posicional base 10, con los dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} por lo que un número entero se representa escribiendo en orden los símbolos, de derecha a izquierda el primero representa las unidades, el segundo las decenas, el tercero las centenas, el cuarto las unidades de millar, continuando con múltiplos de 10 que es la base.

Así por ejemplo el 3469 represnta
tres unidaes de millar, cuatro centenas, seis decenas y nueve unidades, por lo que el número es:
tres mil cuatrocientos sesenta y nueve.

En general <m> a_n a_{n-1} … a_2 a_1 a_0 </m> represeta

<m> a_n 10^n + a_{n-1} 10^{n-1} + … + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0 </m>

La representación decimal facilita los algoritmos para realizar operaciones con los números enteros.

Es fundamental entender el papel del sistema posicional en el desarrollo de un algoritmo por lo que recordaremos las operaciones fundamentales en base 10, con el fin de poder extender las ideas a otras bases más delante.

Suma                                          Resta

         76.512                                     628.420
+    149.83                                   -     73.015
      --------                                  -----------
      226.342                                     555.405


Multiplicación

        13
        13
        42.5
     x   6.7
    --------
         2975
      2550
    --------
     284.75

Para “verificar” si la multiplicación está bien hecha, hay una “prueba” donde se suman los dígitos de los factores y de la respuesta, investigar dicho algoritmo. La explicación y justificación de este procedimiento se explica más delante en la sección de Artimetica Modular.


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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

PROF.LOMELI BEHERENDTH LUIS ALBERTO

SILVIA MANRRIQUEZ NAVA SALAZAR ARECHIGA LUIS ALBERTO Melendez fernandez DANIEL

“MATEMATICAS PARA COMPUTACIÓN”

“SISTEMA DECIMAL, BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL”

“CONVERCIONES”

LIC.INFORMÁTICA

302.

TIJUANA BAJA CALIFORNIA A 4 DE ABRIL DEL 2007.

INTRODUCCIÓN Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre si por su base. Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base 16. El diseño de todo sistema digital responde a operaciones con números discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su sencillez. Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica:

Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá que b>1; ai es un número perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai <b. SISTEMA DECIMAL El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como “cuatro veintenas”). Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas. 

 SISTEMA DECIMAL

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es 10. Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:

SISTEMA BINARIO Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2 Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

SISTEMA OCTAL Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8. Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. Conversiones se estudiará esta conversión. SISTEMA HEXADECIMAL. Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número hexadecimal a uno binario es muy sencillo al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.

CONVERSIONES CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos: 1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510 101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110 Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor: Nº Decimal Base Cociente Resto 107 2 53 1 53 2 26 1 26 2 13 0 13 2 6 1 6 2 3 0 3 2 1 1 

	10710= 11010112

CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y BINARIO Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario. Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido: Carácter octal Nº binario 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 

	Ejemplo: 55,358

Resultado: 101 101, 011 1012 Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión, agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último grupo, veámoslo con un ejemplo: Ejemplo: 11011111,111112 Resultado: 237,768 Observa como ha sido necesario añadir un cero en la última agrupación de la parte entera y otro en la parte fraccionaria para completar los grupos de 3 dígitos. Agrupación Equivalente octal 010 2 011 3 111 7 , , 111 7 110 6

CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y DECIMAL Si la conversión es de octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo: 7408= 7.82+4.81+4.80 = 48410 Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la conversión de decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el siguiente ejemplo: 42610 = 6528

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y HEXADECIMAL La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo siguiente: Sistema binario Sistema Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F 

	Ejemplo: 1011111,1100012

Agrupando obtenemos el siguiente resultado: 0101 1111, 1100 01002 Sustituyendo según la tabla logramos la conversión esperada: 5F, C416 La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo: 69DE16= 0110 1001 1101 11102

NSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
SISTEMAS NUMERICOS
SISTEMA DECIMAL
SISTEMA BINARIO OCTAL Y HEXADECIMAL
INTEREGANTES:
JOHANA ALEJANDRA MARQUEZ ARMENTA\\ HERNANDEZ PEREZ FRANCISCO
HEREDIA PARTIDA LILIANA
GRUPO 301

SISTEMAS NUMERICOS Los sistemas numericos son muy importantes en computacio aqui veremos los sistemas en base 2,8,16 que son las que mas se utilizan en coputacion por supuesto con relacion entre 10 que es la que utilizamos los seres humanos. Un sistema de numeracion

1.1SISTEMA DECIMAL Es el sistema de numeracion decimal es un sistema pocicional. la base del sistema Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:b=10

sistema binario

Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2 Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal

SISTEMA OCTAL Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8. Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23.

SISTEMA HEXADECIMAL. Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24.

converciones enre binario y decimal Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. ejemplo: 101100011Subscript=256+64+32+2+1=355

Nº Decimal Base Cociente Resto 107 2 53 1 53 2 26 1 26 2 13 0 13 2 6 1 6 2 3 0 3 2 1 1 

	10710= 11010112



 CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y BINARIO

Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario. Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido: Carácter octal Nº binario BASE 8 BASE 2 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 8

EJEMPLO; 011001110101=3165

110101Subscript 

 11011Subscript

1010000Subscript 

 1O11O

−01011

1O1OO 
               −10110
              -------
               101010
                +1
               --------
               01011 =  1011

TABLA O 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 7 0

41725 -50223 

               27554
                +  1
             --------
               27555
             + 41725
             -------- 
               71502    =  06276
                            +  1
                          -------                           −6276

+01234567
OO 1234567?
1123456710
22345671011
334567101112
4456710111213
5671011121314
67101112131415
710111213141516
BASE2 BASE 16 0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F
111010011001101!! Heading = 1D910D BASE 2 A BASE 16
011100100011111001001 BASE 8 = 34443711 BASE 16
O-F
1-E
2-D
3-C
4-B
5-A
6–9
7–8
8–7
9–6
A-5
B-4
C-3
D-2
E-1
F-0

 B 93 D 8? 
-D1056 
--------     2EFA9
              +   1
              --------
              2EFAA
              B 93 D 8
              ------
              E8382  =   17C7D
                          +  1
                         ------
                         −17C7E

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