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En matemáticas como en cualquier lenguaje hay dos elementos centrales que se deben tomar en cuenta para poder entender correctamente los conceptos y los procedimientos. El primero es la Sintaxis y el segundo la Semántica.
Explicado de una manera simple la sintaxis es la forma como se escribe y la semántica su significado.
Por ejemplo, analicemos la palabra TUNA
La sintaxis es la secuencia de las cuatro letras en orden, pero su semántica puede variar. Por ejemplo en español es el fruto del nopal y en inglés es un pescado.
Otro ejemplo. Consideremos TRES y 3. Aquí tenemos dos formas distintas de escribir el número. ¿Qué quiere decir esto?, que tenemos diferente sintaxis pero la misma semántica.
En matemáticas es muy importante la sintaxis (la forma como se escribe) porque un cambio pequeño puede hacer que varíe la semántica.
Por ejemplo: sen x2 comparado con sen2 x
En la primera expresión primero debemos elevar la variable x al cuadrado y después calcular la función seno. En cambio en la segunda expresión, primero se aplica la función seno y después se eleva al cuadrado.
En otras palabras la segunda expresión es equivalente (tiene la misma semántica) que (sen x)2
Hay que ser muy cuidadosos, sobretodo con los paréntesis, es muy común quitar paréntesis que no se necesitan, pero hay que estar seguros de que al cambiar la sintaxis quitando paréntesis la semántica es la misma. Si en el ejemplo anterior, a la expresión (sen x)2 le quitamos los paréntesis, podríamos dejar la expresión sen x2, que como ya mencionamos es otra cosa.
¿Cómo aprender correctamente la sintaxis en matemáticas?
Analicemos la expresión: 2 + 5 * 3
Si efectuamos operaciones, ¿cuál es la respuesta? 21 ó 17
Si hacemos la operación con una calculadora sencilla resulta 21 y con una calculadora científica 17. ¿Cuál está bien?
Lo que sucede es que las expresiones algebraicas utilizan los operadores binarios +, –, *, /; los cuales se llaman binarios porque representan operaciones entre dos elementos. Si queremos utilizar 3, debemos usar paréntesis. Así 2 + 5 * 3 puede ser (2+5)*3 ó 2+(5*3). El paréntesis indica que operación debe ser primero.
Árbol Sintáctico:
En el caso de 2 + 5 * 3 los dos resultados están bien.
Faltan los diagramas / se borraron?
La calculadora sencilla toma el orden de escritura y se obtiene 21, la calculadora científica, en cambio, utiliza la jerarquía algebraica de operadores y obtiene 17. Así que a nivel primaria el resultado es 21 pero en preparatoria o profesional el resultado es 17.
Jerarquía de Operadores:
No es necesario utilizar paréntesis cuando el orden en que se deben efectuar las operaciones cumple con la siguiente jerarquía:
1º. Operadores unitarios y funciones
Potencia Raíz seno, coseno, … log exponencial
2º. Multiplicaciones y divisiones.
3º. Sumas y restas.
Ejemplo: En las siguientes expresiones indicar el orden de los operadores:
1. ab + c
2. a + bc
3. abc + d
4. ab + cd
5. a + bcd
6. 7x2 – 8x + 1
7. 7 + sen3 x2
8. Fracción
9. ln (x3 – 2 )
10. F
11. F & R
12. FR
13. FR
14. I
15. F
16. (x2 – x – 2)(7x + 1)
17. 7 (1+x) e3x–1 ln (x – 2)
18. 2 ex + 5 ln (x – 2)
19. sen (ex + ln x)
20. F
Para resolver cada uno de los ejemplos, primero debemos poner la expresión en forma lineal, por ejemplo el número 8 quedaría: (2+x) / (6 – x^2)
En el caos de tener varias sumas o multiplicaciones no es necesario usar paréntesis, analicemos: a + b + c
Podría ser: a + b + c ; [poner numeritos]
Falta árbol
Pero por la ley asociativa (reacomodo) también podría ser a + b + c [poner numeritos]
Falta árbol
Y el resultado es el mismo.
También podemos decir lo mismo para la multiplicación, sin embargo, al principio mientras nos familiarizamos con las expresiones y adquirimos pericia es conveniente numerarlos de izquierda a derecha como en el primer caso.
Qué sucede si en lugar de suma (+) es resta (–)
La resta nos es asociativa así que … poner los dos casos como la suma …
Son dos expresiones con significado distinto. En este caso si es importante que se enumeren los operadores de izquierda a derecha.
Nota: Los operadores con igual jerarquía se numeran de izquierda a derecha porque en algunos casos resultan equivalentes en general no lo son, por lo que cambia el significado si los numeramos en otro orden, como en el caso de la resta, así que es mejor aplicar el mismo criterio siempre.
Ejemplo 2:
Hacer el árbol sintáctico de las expresiones del ejemplo 1.
Son 20 expresiones
Nota: El árbol se hace de arriba hacia abajo, un operador a la vez, tomando el número más grande en casa paso.
Faltan los diagramas / se borraron?
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