SERIES DE FOURIER
El concepto de series de Fourier no es fácil de asimilar y por lo mismo, trataremos de introducirlo de una forma sencilla, a través de un planteamiento matemático similar al de Serie de Taylor que se estudia en los cursos de Cálculo, es decir, como un problema de representación de funciones como series de ciertas funciones particulares.
Sea una función definida en un intervalo de la forma , tal que existe. Queremos saber si es posible representar a como una serie de senos y cosenos. Formalmente, planteamos el siguiente:
Problema:
¿ Podemos encontrar números y tales que se cumpla la siguiente igualdad:
(1) ?
Observación:
Nótese que el término , aparentemente está aislado del resto de la serie, pero en realidad podríamos integrarlo a ella, si hacemos que la suma comience desde . Sin embargo, para seguir con la costumbre de los autores de los libros de texto, seguiremos la escritura tal y como se planteó en el problema anterior.
Para poder maniobrar más fácilmente con la igualdad (1), veamos primero el siguiente:
LEMA. i) Si n, m son enteros no negativos y distintos entre sí, entonces:
ii) Para cualquier ,
iii) Para cualquier entero positivo n:
Demostración. Es una simple integración, en todos los casos.
Regresando al problema planteado arriba, vemos que si efectivamente se da la igualdad, entonces podemos integrar miembro a miembro, y si esta integración se puede realizar término a término, entonces:
donde hemos usado el lema inciso (i) y (ii), para concluir que todas las integrales dentro de la serie, son 0.
De aquí podemos despejar el primer coeficiente para obtener:
Para encontrar los demás coeficientes, seguimos la siguiente táctica: elegimos un entero positivo k y multiplicamos (1) por el término :
Y enseguida integramos como antes:
Por el lema inciso (i) y (ii), todas las integrales del lado derecho son 0, excepto aquellas cuando el integrando es de la forma y con . Por el lema inciso (iii), esta última integral, toma el valor de L y de aquí que:
De esta igualdad, podemos despejar el coeficiente para obtener:
Igualdad que es válida para todo
El procedimiento para obtener los coeficientes restantes, es similar, solo que ahora multiplicamos la igualdad (1), por :
Como antes, integramos término a término:
Otra vez por el lema, todas las integrales son 0, excepto cuando el integrando es de la forma y con , y en este caso, dicha integral vale L. Por lo tanto, tenemos que:
De donde, despejamos los coeficientes :
Igualdad que es válida para todo
Todo este análisis, nos lleva a la siguiente:
Definición. (Series y coeficientes de Fourier)
Sea una función definida en un intervalo de la forma , tal que existe. Entonces:
i) Los coeficientes de Fourier de en son los números:
,
,
ii) La serie de Fourier de en es:
donde , y son los coeficientes de Fourier definidos en (i).
Ejemplo 1.
Sea , para . Calcular la serie de Fourier de esta función.
Solución. En este caso, vemos que y . Por lo tanto, los coeficientes de Fourier para esta función son:
De esta forma, la serie de Fourier de en el intervalo está dada por:
Desarrollando algunos términos de esta serie, ésta se ve como sigue:
Observe que en este ejemplo, todos los coeficientes son 0, y por lo tanto, la serie de Fourier contiene solamente términos de senos. Esto no es una casualidad, sino más bien una consecuencia de propiedades intrínsecas de .
Ejemplo 2.
Calcular la serie de Fourier para la función definida como sigue:
Solución. En este caso, , por lo tanto, los coeficientes quedan como sigue:
Por lo tanto, la serie de Fourier de en el intervalo es:
Desarrollando algunos términos, tenemos que la serie inicia como sigue:
Es importante entender qué significa la serie de Fourier de una función dada. Esta suma corre desde hasta el infinito. Por lo tanto, si tomamos la suma desde hasta , entonces esta función debe aproximar a nuestra función , y se espera que entre mayor sea el valor de k, mejor será la aproximación a .
Esto puede verse y entenderse mejor, si usamos un paquete como el Mathematica. De hecho, podemos hacer un pequeño programa que nos grafique a y a varias aproximaciones para distintos valores de k, para entender mejor el propósito de la serie de Fourier.
Escriba el siguiente programa en Mathematica y córralo, para ver el efecto.
Al evaluarlo en Mathematica, obtendrá una serie de gráficas (correspondientes a los valores de hasta , como sigue:
A continuación, siga las siguientes instrucciones:
Después de la evaluación, haga doble click en la primera gráfica y observe el efecto que produce Mathematica. Enseguida, déle valores mayores a y observe como la aproximación cada vez es más buena. Finalmente cambie los datos correspondientes al ejemplo 2 y observe nuevamente el efecto producido.
Para escribir en Mathematica la función del ejemplo (2), debe escribirla como sigue:
Las demás instrucciones son iguales, pero no olvide modificar la serie de Fourier correspondiente a esta función.
Una vez que se halla comprendido bien cual es la idea de una serie de Fourier, podemos seguir avanzando en el aspecto teórico y propiedades de esta serie.
Como hicimos observar al final del ejemplo 1, los coeficientes para la serie de Fourier de esa función, son todos cero. Comentamos que esto no era casualidad, y ha llegado el momento de aclarar para qué tipo de funciones podemos saber con anticipación, y sin hacer el cálculo correspondiente, si los coeficientes o son cero.
Esto tiene que ver con si la función dada, es par o impar.
Recordemos estas definiciones y veamos el resultado correspondiente.
FUNCIONES PARES E IMPARES
Definición. Una función se llama función par en el intervalo si cumple que , .
Graficamente, una función es par si es simétrica respecto al eje . Así, una gráfica típica de una función par, se ve como sigue:
Algunos ejemplos clásicos de funciones pares son:
1. es una función par en cualquier intervalo .
2. es una función par en el intervalo .
El nombre de función par es debido a que todas las funciones de la forma , donde k es un número natural par, son funciones pares.
De la propiedad geométrica de las funciones pares, es claro que si calculamos , estamos calculando el area bajo la curva, y puesto que la función es simétrica respecto al eje y, entonces esta integral equivale a dos veces el valor de .
Una prueba formal de este resultado se da en los cursos de Cálculo.
LEMA. Si es una función par en el intervalo entonces:
Pasemos ahora a las funciones impares.
Definición. Una función se llama función impar en el intervalo si cumple que , .
Graficamente, una función es impar si es simétrica respecto al origen. Así, una gráfica típica de una función impar, se ve como sigue:
Algunos ejemplos clásicos de funciones impares son:
1. es una función impar en cualquier intervalo .
2. es una función impar en el intervalo .
El nombre de función impar es debido a que todas las funciones de la forma , donde k es un número natural impar, son funciones impares.
De la propiedad geométrica de las funciones impares, vemos que el valor de y el valor de difieren por un signo y por lo tanto el valor total de se anula. Una prueba formal se da en los cursos de Cálculo.
LEMA. Si es una función impar en el intervalo entonces:
Al combinar bajo productos funciones pares e impares, éstas se comportan como cuando multiplicamos números positivos y negativos, siguiendo las leyes de los signos.
Informalmente hablando, tenemos las siguientes propiedades:
· (par)(par) = par
· (par)(impar) = impar
· (impar)(impar) = par
La demostración de estas propiedades es muy simple. Pongamos por ejemplo, que
es una función par y es una función impar. De aquí tenemos que:
lo que demuestra que es una función impar.
Pasemos a ver el resultado que nos indica qué sucede con los coeficientes y la serie de Fourier de funciones pares e impares.
TEOREMA. Sea integrable en el intervalo . Entonces:
i) Si es una función par, entonces la serie de Fourier de en es:
donde:
,
ii) Si es una función impar, entonces la serie de Fourier de en es:
donde:
,
Demostración. i) Supongamos que es par. Entonces por las propiedades de las funciones pares e impares, es par, , y por uno de los lemas anteriores, se sigue que:
También, es impar, , y por el otro lema se sigue que,
ii) Es completamente análogo al inciso (i).
Ejemplo 3.
Calcular la serie de Fourier para la función , en el intervalo .
Solución. Sabemos que es par, y por lo tanto, solamente calculamos los coeficientes y . Tenemos que:
Por lo tanto, la serie de Fourier de en es:
Ejemplo 4.
Calcular la serie de Fourier de la función definida como:
Solución. De la gráfica de la función,
vemos que se trata de una función impar. Por lo tanto, para calcular su serie de Fourier, únicamente calculamos los coeficientes :
Por lo tanto la serie de Fourier de en es:
De hecho, observamos que si , entonces , mientras que si , entonces . Por lo tanto, la serie de Fourier se puede escribir como:
