La Sensibilidad en los sistemas de Control se mantiene constante en los lazos de Control.Por tanto el margen de fase estimado de 80° fue demasiado exigente . para el diseño que no es critico se puede seleccionar a1 =a2 = 70. Al seguir paso de diseño similares a los anteriores, se llega a T1 = 0.00001117 y T2 = 0.000039. El margen de la fase final es solamente de 66.13° pero los requisitos en el dominio de tiempo todavía sastifacen. La tabla 10–16 resume todos los atributos de desempeño del sistema con estos tres controladores. Las respuestas al escalón unitario del sistema con el controlador de adelanto de fase de dos etapas para a1 = a2 = 80 y 100 se muestra en la Fig. 10–40.
10–5−6 Consideraciones Sobre la Sensibilidad
De la funcion de sensibilidad en la sec. 9–23, la ecuación (9–181) se puede emplear con una especificación de diseño para indicar la robustez del sistema. En la ecuación (9–181), la sensibilidad de la funcion de transferencia en lazo cerrado con respecto a las variaciones de la funcion de transferencia de la trayectoria directa se define como:
SmG (s) = = (10–118)
Las trazas de SMG (jw) Contra la frecuencia dan una indicación sobre la sensibilidad del sistema con una funcion de frecuencia. La situación robusta ideal es que SMG (jw) adopte un valor pequeño (<<1) en un intervalo amplio de frecuencias. Como ejemplo, la funcion de sensibilidad del sistema rastreador solar diseñado por ejemplo 10–7 con un controlador de adelanto de fase de etapa con a=100 y T=0.00005 se dibuja como se muestra en la figura 10–41. Obsérvese que la funcion de sensibilidad es de baja frecuencias y es menor que la unidad para w<400 rad/s. Aunque el sistema rastreador solar del ejemplo 10–7 no necesita un controlador de adelanto de fase de dos etapas , no solo el valor de a se reducirá sustancialmente, lo que resulta en ganancias bajas para los amplificadores operacionales sino que el sistema será mas robusto. Al seguir el Procedimientote diseño descrito en el ejemplo 10–8 se diseña un controlador de adelanto de fase de dos etapas para el sistema rastreador solar con la funcion de transferencia del proceso descrita por la ecuación (10–97). Los parámetros del controlador son: a1 =a2 = 5.83 y T1 = T2 = 0.0000673. La funcion de
Figura 1.6 Funciones de Sensibilidad del sistema Rastreador Solar
Transferencia de la trayectoria del sistema compensado es:
G(s) = (10–119)
La fig. 10–41 muestra que la funcion de sensibilidad del sistema de controlador de adelanto de la fase de dos etapas es menor que la unidad para w=600 rad/s. por tanto, el sistema con el controlador de adelanto de dos etapas es mas robusto que el sistema de controlador de una etapa. La razón de esto es que el sistema más robusto tiene un ancho de banda mayor. En general, los sistemas con un control de adelanto de fase será más robusto debido al mayor ancho de banda. Sin embargo, La fig. 10–41 muestra que el sistema con el controlador de adelanto de fase de dos etapas tiene una mayor sensibilidad en altas frecuencias.
10–6 Diseño con el Controlador de Atraso de Fase
La función de transferencia de la ecuación (10–62) representa un controlador de atraso de fase o filtro pasa bajas cuando a <1. La función de transferencia se repite como sigue:
Gc (s) = (10–120)
Interpretación y Diseño en el Dominio del Tiempo del Controlador de Atraso de Fase
La Configuración de polos y ceros de Gc (s) se muestra en la Fig. 10–42. Contrario del controlador PI. El cual provee un polo en s=0, el controlador de atraso de fase afecta el error en estado estable solamente en el sentido de que la ganancia en frecuencia de cero de Gc (s) es mayor que la unidad.
Figura 1.7 Configuración De polos y Ceros Controlador de Atraso de Fase.
Gc (s) = a<1
Figura 1.8 Sistema Realimentado en dos Lazos
Es aparente que si bien las propiedades de G y H son tales que el sistema realimentado de lazo interno es inestable porque , el sistema total puede ser estable mediante la selección apropiada de la ganancia de lazo de realimentación externo. En la práctica, GH es una función de la frecuencia, y la condición para la estabilidad del sistema en lazo cerrado depende de la magnitud y la face de GH. Por ultimo, la realimentación puede mejorar la estabilidad o serle dañina si no se aplica adecuadamente.
Efectos de la realimentación en la sensibilidad
A menudo, las consideraciones sobre sensibilidad son importantes en el diseño de sistemas de control. Ya que todos los elementos físicos tienen propiedades que cambian con el ambiente y la edad, no se pueden considerar a los parámetros de un sistema de control como completamente estacionarios durante la vida de operación del sistema. Por ejemplo, la resistencia del embobinado de un motor eléctrico cambia a medida que la temperatura del motor se eleva durante la operación. La máquina de escribir electrónica descrita en la Sec. 1–1, algunas veces no funciona normalmente cuando se enciende por primera vez debido a que los parámetros están cambiando durante el calentamiento. Este fenómeno es llamado “enfermedad de las mañanas”. La mayoría de las máquinas de duplicación tiene un periodo de calentamiento durante el cual la operación es bloqueada cuando se encienden por primera vez. En general, un buen sistema de control debe ser insensible a la variación de los parámetros pero sensible a los comandos de entrada. Se van a investigar qué efectos tiene la realimentación sobre la sensibilidad a la variación de parámetros. En referencia al sistema de la Fig. 1–14. se considera a G como la ganancia de los parámetros, la cual puede variar. La sensibilidad de la ganancia del sistema total, M, con respecto a la variación de G se define como:
(1–3)
en donde denota el cambio incremental en debido al cambio incremental en G, . Utilizando la ecuación (1- 1), la función de sensibilidad se escribe como:
Attach:file.extAttach:file.extlink text Δ
La relación muestra que si GH es una constante positiva, la magnitud de la función de sensibilidad se puede hacer arbitrariamente pequeña cuando GH se incrementa, mientras el sistema permanece estable. Aparentemente, en un sistema en lazo abierto, la ganancia del sistema responde de una forma uno a uno respecto a la variación en ). Nuevamente, se debe recordar que en la práctica GH es una función de la frecuencia; la magnitud de l + GH puede ser menor a uno para algunas frecuencias, por tanto, en algunos casos, la realimentación puede ser dañina a la sensibilidad de la variación de parámetros. En general, la sensibilidad de la ganancia de un sistema realimentado a la variación de los parámetros depende de donde estén localizados los parámetros. El lector puede obtener la sensibilidad del sistema de la Fig. 1- I 4 debido a la variación de H.
Efecto de la realimentación sobre perturbaciones externas o ruido
Todos los sistemas físicos están sujetos a algunos tipos de señales exógenos o ruido durante su operación. Ejemplos de estas señales son el voltaje de ruido térmico en circuitos electrónicos y el ruido de conmutación en motores eléctricos. Las perturbaciones externas, tal como el viento que actúa sobre una antena, son también muy comunes en sistemas de control. Por tanto, en el diseño de sistemas de control, se deben dar consideraciones para que el sistema sea insensible a ruido y perturbaciones externas y sensibles a comandos de entrada. El efecto de la realimentación sobre el ruido y perturbaciones depende grandemente de en qué parte del sistema ocurren las señales exógenos. No se pueden obtener conclusiones generales, pero en muchas situaciones, la realimentación puede reducir los efectos del ruido y las perturbaciones en el desempeño del sistema. En referencia al sistema de la Fig. 1–16, en la que r denota la señal de comando y n es la señal de ruido. En ausencia de realimentación, , la salida y debida a n actuando sola es:
(1–5)
Con la presencia de realimentación’, la salida del sistema debido a n actuando sola es:
(1–6)
Al comparar la ecuación (1 −6) con la (1–5) se observa que la componente de ruido en la salida de la ecuación (1–6) se reduce por el factor si éste último es mayor que la unidad y el sistema permanece estable.
La Sensibilidad ante los errores en el modelado. Al diseñar sistemas de control, nuestro diseño se basa en el modelo de una planta específica. Tal modelo no es de ninguna manera preciso, sino ~610 una aproximación a la dinámica real de la planta. La diferencia entre la dinámica de la planta real y la dinámica de un modelo se denomina error de modelado. Los errores de modelado ocurren por alguna de las razones siguientes:
1. Características no lineales de la planta no consideradas
2. Características de alta frecuencia de la planta no considerada (por ejemplo, los sistemas mecánicos tienen un fenómeno dinámico de alta frecuencia, incluyendo las resonancias, el efecto de una masa de resorte no considerada, etcétera.)
3. La precisión de los parámetros no es suficientemente buena
4. Las características de la planta cambian con el tiempo
Par- simplificar la notación, definamos la función de transferencia de la planta real Como, el modelo de la función de transferencia de la planta como y la diferencia entre y , como , o
Aquí, la sensibilidad se refiere a la diferencia entre la respuesta del sistema en presencia de errores en el modelo y ante la ausencia de errores en el modelo. Dado que
la variación de , se obtiene mediante
Por tanto
La ecuación (10–4) plantea que la variación relativa de es por la variación relativa de la función de transferencia de la planta. (Observe que, aunque , depende tanto de como de , la variación relativa depende de .) Defina
Observe que S es una función de la frecuencia . Desde el punto de vista de la sensibilidad, debe ser pequeña en el rango de frecuencias considerado. Observe que la definida mediante la ecuación (10–10) es igual que la S definida mediante la ecuación (10–5). La S de la ecuación (10–5) se denomina función de sensibilidad.
En los modelos matemáticos de los sistemas de alto desempeño debe incluirse la Dinámica de alta frecuencia, y los compensadores deben diseñarse con base en tales modelos. Si se desconoce la dinámica de alta frecuencia de la planta, es conveniente mantener la ganancia de alta frecuencia baja para suprimir el fenómeno de alta frecuencia.
Margen de estabilidad. Una cuestión importante es cómo afecta los errores en el Modelado la estabilidad de los sistemas de control. La estabilidad del sistema de control con realimentación se determina mediante la condición de si la función de transferencia en lazo abierto
Satisface el requerimiento de la condición de estabilidad de Nyquist. Observe que siempre diseñamos sistemas de control tales que la función de transferencia en lazo abierto satisfaga la condición de estabilidad de Nyquist. Si la magnitud de es menor que la distancia entre el punto −1 + j0 y el punto para una frecuencia o definida , también satisface la condición de estabilidad de Nyquist. Es decir, si
el sistema de control es estable. Defina
Entonces, la desigualdad (10–6) se escribe como
