REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.
Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax, entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim imagen T= ρ(A). Así se puede determinar núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal de Rn Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Todavía mas, una vez que se sabe que Tx= Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.
TEOREMA 1:
Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces
Tx = AT x para toda x € Rn.
DEMOSTRACIÓN
Sea W1 = Te1, W2= Te2,…Wn = Ten. sea AT la matriz cuyas columnas son W1, W2,…, Wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que premultiplica un vector en Rn por AT .
Así AT ei= Wi para i=1,2,…,n.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx= AT x y que Tx= BT x para todo x € Rn. Entonces, AT x = BT x o estableciendo CT = AT - BT, se tiene que CT x =0 para todo x € Rn. En particular, CT ei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m- vector cero y CT=0, la matriz cero de m x n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.
OBSERVACIÓN 1: En este teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto, se obtendrá una matriz AT diferente.
OBSERVACIÓN 2: La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son vectores Tei.
DEFINICIÓN1: Matriz de transformación. La matriz AT en el teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota: La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en Rm. Si se usan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente.
TEOREMA 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces:
i. Imagen T= imagen A = C AT
ii. Ρ (T) = ρ (AT)
iii. Un T = N AT
iv. v (T) = v(AT)
TEOREMA 3 sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V→W una transformación lineal. Sea B1 {v1, v2, …, vn} una base para V y bsea B2 ={w1, w2, …, wm} una base para W. entonces existe una matriz única AT de m x n tal que (Tx)B2 = AT (x)B1
TEOREMA 4 Sean Vy W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V=n. Sea T:V W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces:
i. ρ(T) = ρ (AT)
ii. v(T) = v(AT)
iii. v(T) + ρ(T) =n
Nota: i) y ii) implican que ρ (AT) y v(AT) son independientes de las bases B1 y B2
TEOREMA 5 Sea Rn → Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B1 a la base Sn en Rn sea A2 la matriz de transición de B2 a la base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transición de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.
AT = A2–1C A1
GEOMETRIA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R2 EN R2
Sea T: R2 → R2 una transformación lineal con representación matricial AT. Ahora se demostrara que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, llamadas expansiones, comprensiones, reflexiones y cortes. Expansiones a lo largo de los ejes x o y: Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante c> 1.
Compresión a lo largo de los ejes x o y: Una comprensión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva c>1. La representación matricial de una compresión es la misma que para una expansión excepto que para la comprensión 0<c<1 mientras que para la expansión c>1.
Cortes: Un corte a lo largo del eje x es una transformación que toma al vector (x,y)y lo convierte en un nuevo vector (x + cy)donde c e una constante que puede ser positiva o negativa. y
TEOREMA 6 Toda matriz elemental E de 2 x 2 es uno de los siguientes:
i. la representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y
ii. La representación matricial de una comprensión a lo largo del eje x o y
iii. La representación matricial de una reflexión respecto a la recta y=x
iv. La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y
v. El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje x o y y la representación matricial de una expansión o comprensión.
TEOREMA 7 Sea T: R2→ R3 una transformación lineal tal que su representación matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.
Nota: AT es invertible respecto a todas las bases en R2 o no es invertible respecto a ninguna.
Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:
- Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
- En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.
pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.
- En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
- En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
- Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.
pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.
pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.
- PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
- Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
- Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.
- Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.
pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.
pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.
- Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
- Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.
pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.
pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.
pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.
pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:
1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.
pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.
2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.
3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.
4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.
- Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
- PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
- Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)
pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.
- Crear al menos dos archivos de audio mp3:
1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)
2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)
3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.
4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:
- Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
- Para producir video se pueden usar tres fuentes:
1) Localizar Videos apropiados en Youtube.
2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.
3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.
3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.
- Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
- Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
- Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.
Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.