Tema 4.1
4.1.1 Introducción
Los números nacen de la necesidad del hombre por contar y es bastante antigua la idea del conjutno de los enteros positivos. Dicho concepto se puede representar por:
N+ = {uno, dos, tres,…}
ó el conunto de los números naturales que incluyen el cero, éste es:
N= {cero, uno, dos, tres,…}
En general cada número representa una idea que es la cardinalidad ó cantidad de elementos en un conjunto dado así por ejemplo, el conjunto:
{ ¶, ©, ® }
Tiene tres elementos, el número tres es la idea que abstrae la cantidad de elementos en el conjunto, ésto es el conjunto:
{ A, B, C }
también tiene tres elementos.
Aquí debemos distinguir al “numeral“ o sea la representación sintáctica del número, que en el caso del ejemplo anterior se puede representar por:
Tres, three, 3, ···, III
La primera representación en español
La segunda representación en inglés
La tercera representación en indo-arábigo
La cuarta en numeración maya
La quinta en numeración romana
Todas son distintas representaciones del mismo número que es la idea.
Sintetizando:
Número: Idea que representa la cantidad de elementos de un conjunto. Sentido Semántico.
Numeral: Símbolo que se usa para representar un número. Sentido Sintáctico.
Así en el caso anterior se tienen varios numerales para un sólo número.
El numeral es a nivel sintáctico, esto es, símbolos utilizados para representar el número que es al nivel semántico: idea ó significado que representa dicho símbolo.
Por ahora utilizaremos el sistema indo-arábigo para representar los enteros, o sea
= {1, 2, 3,…} = {0, 1, 2, 3…}
Pero tambien se utilizará el español. Así, por ejemplo: 7 y siete representan la misma idea.
La fundamentación de los números enteros se puede hacer de acuerdo a Peano y tiene dos ventajas, primero se formaliza matemáticamente y segundo se consideran como entes sintácticos, que pueden ser manejados en computación.
Así definimos 0 como la cardinalidad del conjunto vacío, ver Apéndice Cardinalidad?.
1 como la cardinalidad de un conjunto que contenga un elemento. 2 como la cardinalidad de un conjunto que contenga dos elementos.
Obviamente los números naturales no son suficientes para realizar los problemas que se presentan y es necesario otro conjunto mayor. El de los números enteros, este conjunto aparece cuando se presenta el siguiente problema:
X + 5 = 3
Que aparace en casos como el siguiente: “Oye sobrino, cómo es que en la bodega hay 3 toneladas si envié 5, deberían de tener 5 más lo que había “, el problema es que se debían 2, contesta el sobrino.
Claro que una manera más interesante sería introducir los enteros al estilo de Lewis Carol, ver Lewis Carrol?.
De cualquier manera matemáticamente el problema planteado está dado por:
X+5 = 3
Cuya solución requiere de un tipo de número llamado: los enteros negativos. Así llegamos a los enteros
Z = {…,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…}
Para la justificación formal de los enteros
Así la ecuación tiene solución: X = −2
Claramente estos números no son suficientes y problemas como el siguiente se salen del conjunto de los números enteros: “Se debe repartir el contenido de la bodega (3 tonelada) en las 4 tienedas de manera que en cada una se obtenga la misma cantidad.
La ecuación que representa el problema es
4 x = 3
Esto nos lleva a los números racionales, lo que en matemáticas se conoce como el campo de cocientes de los enteros, estos son: Q={a/b : a,b ∈ Z, b ≠ 0} Así ½, 5, 0, −4, −2/7, 11/9 son elementos de Q.
La solución del problema anterior es
X = 3/4.
Finalmente los últimos números en esta sección son los números reales, algunos creen que los primeros números no racionales fueron descubiertos por los Pitagóricos, cuando trataban de medir la longitud de la hipotenusa en un triángulo.
Por ejemplo si quiero medir la longitud mayor en la escuadra 90°- 45°−45° si los lados iguales miden 1, tenemos por el teorema de Pitágoras que:
center
No hay ningún número racional que satisfaga dicha ecuación; ésto es, no se puede obtener 2 al elevar al cuadrado un cociente de dos números enteros, no importa qué números sean.
Esta aseveración parece muy atrevida, ya que si se quisiera verificar directamente con todas las parejas, sería imposible pues hay una cantidad infinita. Sin embargo hay formas indirectas para comprobarlo.
La solución de la ecuación anterior se representa por √2
Y de esta forma aparecen los números reales.
En general podemos asociar a los números reales con los puntos de la recta
center
de tal forma que a cada número corresponde un punto y a cada punto un número.
Los números así definidos satisfacen los axiomas de los números reales .
En computación se utilizan diferentes tipos de números, a los enteros Z corresponden los tipos int en C ó integer en Pascal así como longint que viene siendo una implementación práctica, que por limitante de la memoria que imponen este tipo de lenguajes los primeros corresponden a valores de –32,768 hasta 32,767, los segundos corresponden a valores entre –2’147,483,648 hasta 2’147,483,647. Esta limitante se debe a que tanto C como Pascal utilizan 2 bytes para el tipo entero y 4 bytes para el tipo longint. En lengujaes como Lisp Schem, los enteros no tienen límite, por lo que se tiene una mejor representación de los enteros ya que se puede manejar un número entero de cualquier tamaño.
A los números racionales Q se les asocia los de tipo real en Pascal o float en C que simulan los números reales y que de nuevo debido a las limitantes de espacios no puede representarse un número real en general ni siquiera un número algebraíco como √2. Habrá que recurrir a un lenguaje como Lisp para poder epresentar números reales.
Es importante hacer notar que para la mayoría de las aplicaciones prácticas, con una aproximación de los números reales mediante un racional es suficiente, por lo que la comunidad dedicada a la computación acepta que los tipos real y float son reales. Si se quiere mayor precisión está el tipo compund y por supuesto se puede extender creando un nuevo tipo según la precisión que se quiera. También Pascal, utiliza un tipo de entero no-negativo que correspondería a lo que se llamó anteriormente N.
Si se analizan los trabajos de Arquimides ó cualquier otro matemático que no utilice el sistema decimal indo-arábigo se verá la dificultad para representar los números.
Simplemente, si se quiere sumar enteros utilizando numeración romana; los algoritmos resultarán bastante complicados, imaginemos tratar de sumar: CDXXVII + CCXLII
Esto nos conduce a que una buena representación de los números nos llevará por ende a una forma más sencilla de manejarlos.
Con el invento del sistema posicional, que utiliza la cultura indo-arábiga y la maya. El manejo de los números es más lógico y más sencillo.
Representación de números con base 10:
Desde nuestro primer contacto con los números nos familiarizamos con el sistema base diez, utiliza diez símbolos llamados dígitos que son D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Los elementos se agrupan en decenas, diez decenas en una centena y diez centenas en una unidad de millar, etc., por lo que cada número se representa con una cadena o sucesión de digítos, por ejemplo:
3469 representa
3 millares, 4 centenas, 6 decenas y 9 unidades
como diez se representa por 10
En general cualquier número entero se puede representar con una base arbitraria utilizando
como los numerales primarios.Así:
Esta representación será muy utilizada pero primero estudiaremos los temas en base diez.
También podemos representar un número racional, por ejemplo: 76.512 es
7×
+ 6× + 5× + 1× + 2×o sea 7 decenas, 6 unidades, 5 décimos, 1 centécimo y 2 milésimos.
Recordemos los algoritmos para efectuar las operaciones básicas:
Division
6/2=3
Adición
76.512
+ 149.83
-----------
226.342
Sustración
628.420
- 555.405
-----------
73.015
Multiplicación
13
13
42.5
× 6.7
--------
2975
2550
--------
284.75
Recuerde una prueba para verificar si la operación está bien hecha.
13
13
42.5 Sumando los dígitos obtenemos: 11 módulo 9 queda: 2
× 6.7 Sumando los dígitos obtenemos: 13 módulo 9 queda: 4
--------
2975
2550
--------
284.75
11 42.5 6.7 2
2975 8 8
2550 13 4
284.75
26
Para la justificación de este procedimiento ver Artimetica Modular.
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