Tema 2.2.3

Recordemos primeramente las propiedades:

Simétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R

Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ∉ R)

Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero: (∀ x)(∀ y)(∀ z)((x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R) → (x,z) ∈ R)

Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempre que un par está en R el par

inverso debe también estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.

Nota:Vemos que la definición de antisimétrica se indica que el par inverso no puede estar cuando los elementos son distintos por razones obvias.

Como ejemplo analizaremos las mismas relaciones de la sección anterior:

A = {a,b,c,d,e}

R₁ = (a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d)

R₂ = (a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e))

R₃ = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a))

R₄ = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),(d,a),(e,e)

R₅ = (a,c),(a,e),(e,c),(b,c)

R₆ = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a)

R₇ = (a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))

M_R1 = {$ [ (1,0,1,0,0), (0,1,1,0,0), (1,0,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,0) ] $}

M_R2 = {$ [ (1,0,0,1,0), (0,0,0,0,0), (0,1,0,0,1), (1,0,0,0,0), (0,0,0,0,1) ] $}

M_R3 = {$ [ (1,0,0,0,0), (1,1,1,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1) ] $}

M_R4 = {$ [ (1,1,0,0,0), (1,1,1,1,1), (0,0,0,0,1), (1,0,0,0,0), (0,0,0,0,1) ] $}

M_R5 = {$ [ (0,0,1,0,1), ( 0,0,1,0,0), (0,0,0,0,0), (0,0,0,0,0), (0,0,1,0,0) ] $}

M_R6 = {$ [ (1,0,0,0,1), (0,1,1,0,0), (0,1,1,0,0), (0,0,0,1,0), (1,0,0,0,1) $}

M_R7 = {$ [ (0,1,0,0,0), (1,0,1,1,0), (1,0,0,0,0), (0,0,0,0,1), (0,0,1,0,0) ] $}

Teorema Una relación R en un conjunto es simétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Teorema Una relación R en un conjunto es antisimétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

De las relaciones anteriores R₆ es simétrica. R₃, R₅ son antisimétricas y R₃, R₆ y R₆ son transitivas.

Relación	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
Reflexiva	NO	NO	SI	NO	NO	SI	NO
Antirreflexiva	NO	NO	NO	NO	SI	NO	NO
Simétrica	NO	NO	NO	NO	NO	SI	NO
Antisimétrica	NO	NO	SI	NO	SI	NO	NO
Transitiva	NO	NO	SI	SI	SI	SI	NO

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