Relaciones Introduccion

Por: Alcantar Limón Cinthya Yumuri

Tema 2.

Las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos, Programación, etc.; casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple y entendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.

Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos para definir relaciones de varios elementos.

Primeramente empezaremos por el concepto de producto cartesiano entre conjuntos. Ver Conjuntos.

A diferencia de un conjunto en un par ordenado (a,b), ver Par Ordenado, importa el orden de los elementos. Si se consideran los conjuntos A y B y formamos parejas o pares ordenados con los elementos de A como primeros elementos y los de B como segundos, se obtiene un conjunto llamado producto cartesiano. Esto es:

Definición. A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B }

Ejemplo: A= {1,2,5}, B = {2,3}

A x B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3)}

Con el producto cartesiano podemos establecer la definición formal de relación.

Definición. Una relación R de A a B es un subconjunto de A x B. Los elementos de A que aparecen en la relación forman el dominio y los de B forman el rango.

Notación: R ⊆ A X B

DOM( R ) = {x : (x,y) ∈ R }
RAN( R ) = {y : (x,y) ∈ R }

O sea que una relación de A a B es un conjunto de pares ordenado, donde los primeros elementos pertenecen al conjunto A y los segundos a B.

Definición. La relación inversa

de una relación R de A a B es la que se obtiene si invertimos el orden en las parejas.

= { (y,x) : (x,y) ∈ R }

Observamos que la relació inversa es una relación de B a A.

Ejempos.

Si A = {a,b,c,x,y,z}, B = {1,2,3,4,5}

= {(a,2),(c,2),(x,1),(y,5),(z,5)}

= {(a,1),(a,5),(c,3),(x,2),(x,4)}

= {(a,4),(b,2),(c,5),(x,1)}