Tema 2.4

Definición. Una relación R en un conjunto A es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Teorema. Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A entonces R particiona al conjunto A en subconjuntos disjuntos llamados clases de equivalencia.

Una partición de un conjunto está formada por subconjuntos disjuntos ningún elemento aparece en dos conjuntos tal que la unión es igual al conjunto original.

Nota.

El inverso del terema también se cumple, si A₁, A₂, … , A_n es una partición de A entonces la relación R definida como: dos elementos están relacionados si pertenecen al mismo subconjunto A_i $} es una relación de equivalencia.

En computación y sobretodo en matemáticas utilizamos mucho el concepto de equivalencia, por ejemplo para manejar fracciones, escribimos por ejemplo

{$ frac12 = frac24 $} y decimos que un medio es igual a dos cuartos

pero en realidad no queremos decir que son iguales, pues en realidad no lo son, es obvio que tener un 1 carro no es igual a dos mitades de carro, lo que estamos simbolizando es que son equivalentes, o sea que cumples las tres propiedades básicas de la igualdad, que son: reflexiva, simétrica y transitica; y que para fines de manejo de fracciones las tomamos como iguales, por eso muchas personas prefieren utilizar el término equivalencia de fraciones en lugar de igualdad de fracciones.

Lo que sucede es que como la relación de equivalencia entre fracciones es una relación de equivalencia, particiona a las fracciones en clases de equivalencia, asi:

{ {$ frac12, frac24, frac36, frac{−8}{−16}, frac{27}{54}, $} …} es una clase y como las operaciones algebraicas no se alteran al sustituir elementos de una misma clase, consideramos que {$ frac12 $} es lo mismo que {$ frac24 $}.

Esto es algo muy comun en matemáticas, como se mencionó anteriormente, y por ejemplo en geometría ángulos y figuras congruentes se consideran iguales.

También en geometría euclidiana plana podemos considerar el caso de rectas paralelas. Si definimos dos líneas paralelas como aquellas líneas que nunca se tocan, la relación de paralela no cumple la reflexividad ni la transitividad

Sin embargo si definimos dos líneas paralelas como aquellas que tienen la misma inclinación; esto es, que son verticales o que tienen la misma pendiente, entonces es una relación de equivalencia, por eso es que muchas personas prefieren la segunda definición.

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