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4.2RelacióndeOrdenConceptodeIntervaloyValorAbsoluto

Ejemplo:

x^2&+&3x&-&4&<&0

Resolver:

x^2&+&3x&-&4&<&0

Solución.

Vemos que x^2&+&3x&-&4& = (&x&+&4&)&&(x&+&1&)

para

los intervalos adecuados son:

para

los intervalos adecuados son:

por lo que podemos dividir la recta numérica en los intervalos

y los tres intervalos nos sirven para los dos factores

Analizando los factores tenemos

Factor

x+4 negativo positivo positivo x 1 negativo negativo negativo

por lo que el producto será negativo únicamente en el intervalo ( 4,1) el cual es la solución 

                                      >

5 4 3 2 1 0 1 2

Finalmente vemos que S = ( 4,1) es la solución y sup S = 1, inf S = 4 y no tiene ni máximo ni mínimo.

Esta idea también se aplica para cocientes o cuando aparecen más de dos factores. La idea central, una vez que tenemos una expresión de productos y cocientes comparada con cero, es de analizar en qué números reales son cero dichos términos; éstos números son los que dividirán la recta numérica en intervalos para hacer el análisis.

Ejemplo: Resuelva x3 x2 12x > 0.

Primero vemos que x3 x2 12x = x(x 4)(x+3), o sea que la desigualdad es equivalente a x(x 4)(x+3) > 0.

Los números 3, 0 y 4 es donde cada uno de los factores son cero, por lo que conviene dividir la recta real en los intervalos ( oo, 3), ( 3,0), (0,4) y (4,oo).

Analizando el producto vemos que es negativo en el primer y tercer intervalo, y positivo en el segundo y cuarto. 

                                      >
     4    3    2    1    0    1    2    3    4

Por lo que la solución es ( 3,0) U (4,oo), no está acotado superiormente, el ínfimo es 3 y no tiene mínimo.

En algunos libros es común ver este método diciendo que para saber si la expresión es positiva o negativa en alguno de los intervalos se sustituya uno de los puntos del intervalo, puesto que la expresión no cambia de signo en el intervalo. Esto en realidad es cierto sin embargo para su comprobación se requieren conceptos de continuidad y el teorema de Bolzano que veremos en el capítulo 5. Así que debemos tener presente que esta propiedad es verdadera porque cada uno de los factores tiene el mismo signo en todo el intervalo y no con analizar un solo punto podemos estar seguros.


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