Regresion Lineal Simple

Regresion Lineal Simple

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Regresión lineal simple’‘’

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:[6]

(6)

donde es el error asociado a la medición del

valor Xi y siguen los supuestos de modo que

(media cero, varianza constante e igual a un σ y http://upload.wikimedia.org/math/9

/9/8/9984b5b8fb9af564265de6ffb25c0fbe.png con ).

Análisis’‘’

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:[7]

    (7) 

    (8)

Calculando y . Para esto se buscan dichos parámetros que minimicen

Derivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene:[7]

    (9) 

    (10) 

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:[6]

    (11) 

    (12) 

ITLAC

El análisis de regresión es una técnica estadística para la investigación de la relación entre dos o mas variables, puede emplearse para construir un modelo que permita predecir el comportamiento de una variable y (dependiente, respuesta) en función de una o mas variables (independientes, predictivas) x.

Los comportamientos de estas variables pueden estar definidos de antemano lo cual nos remite a un modelo teórico, o bien, se tiene el caso de que no exista una relación establecida entre estas y sea necesario establecer una primera aproximación del comportamiento de las mismas.

Lo anterior se puede lograr usando una herramienta gráfica denominada diagrama de dispersión lo que nos conduciría a desarrollar un modelo empírico de la relación que mantienen las variables en estudio.

Para ver este tema con mayor detalle siga la siguiente liga Diagrama de Dispersión

Ejemplo. El número de libras de vapor utilizadas por mes por una planta química,está relacionado con la temperatura ambiente promedio (en grados Farenheit) de ese mes. En la tabla siguiente se muestra el uso del vapor de un año y la temperatura del mes correspondiente.

 Consumo de Vapor por Mes 
MesTemperaturaUso/1000
Enero21185.79
Febrero24214.47
Marzo32288.03
Abril47424.84
Mayo50454.58
Junio59539.03
Julio6821.55
Agosto74675.06
Septiembre62562.03
Octubre50452.93
Noviembre41369.96
Diciembre30273.98

a) Elabore el diagrama de dispersión.
<
b) Suponga que resulta apropiado un modelo de regresión lineal simple. Ajuste el modelo de regresión que relaciona el uso de vapor (y) con la temperatura promedio (x).
c) ¿Cuál es la estimación de uso de vapor esperado cuando la temperatura promedio es 55°F?
d) ¿Cuál es el cambio esperado en el uso del vapor promedio cuando a temperatura mensual promedio cambia en 1°F?
d)Suponga que la temperatura mensual promedio es 47°F, Calcule el valor ajustado de y y el residuo correspondiente.
Utilizando el siguiente applet de Regresión Lineal encontraremos la recta ajustada a los datos del ejemplo.

<a href=“http://picasaweb.google.com/jorgel.herrera/EstadisticaII/photo?authkey=74gHr_YXxL0#5158785293053065442”><img src=““ /></a>

Podemos observar en la gráfica que para cada valor de la variable predictiva o independiente, en este caso la temperatura del ambiente, existen dos valores de la variable de respuesta (uso de vapor/1000); El valor observado y el valor calculado.

Esto es importante entenderlo ya que es un concepto que estaremos manejando en los distintos temas del curso.

Calculo del Modelo de Regresión Simple.

En el caso del RLS se considera un regresor y una variable de respuesta, como se explicaba en el inciso anterior. Ahora tenemos que construir este modelo para lo que es necesario calcular los coeficientes de la regresión.

Estos coeficientes son la pendiente del modelo y la ordenada al origen.

{$text (La ordenada en el origen se denota por ) beta_0 text( y la pendiente por ) beta_1$}

Usando la técnica de mínimos cuadrados encontramos que: {$beta_0 = bar(y) - hat(beta_1)*bar(x)$} y

{$beta_1 = (sum_(i=1)^n(y_ix_i) - (sum_(i=1)^n(y_i)sum_(i=1)^n(x_i))/n)/(sum_(i=1)^n(x_i^2)-((sum_(i=1)^n(x_i))^2)/n$}

Que puede tambien escribirse como {$beta_1 = S_(xy)/S_(x x)$}donde{$S_(xy)=sum_(i=1)^n(y_ix_i) - (sum_(i=1)^n(y_i)sum_(i=1)^n(x_i))/n$} y {$S_(x x) = sum_(i=1)^n(x_i^2)-((sum_(i=1)^n(x_i))^2)/n$}


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