2.4.1 Pruebas Deductivas
Los teoremas de una teoria
son consecuencias logicas de un conjunto de axiomas . Supongamos que tenemos una formula y queremos saber si pertenece a la teoria . Asi si un procedimiento de decision para validar las respuestas “si” dentro de la formula. Sin embargo, hay varios problemas con este acercamiento, tales como:- El conjunto de axiomas puede ser infinito, por ejemplo, en una axiomatizacion de la artimetica, deberiamos especificar que todas las formulas de la forma son axiomas.
- Poca lógica tienen los procedimientos de decisión como el cálculo proposicional.
- Un procedimiento de decisión podria no dar conexion en la relación entre los axiomas y el teorema.
- Un procedimiento de decision solo arroja una respuesta “si o no”, por lo que es dificil reconocer los resultados inmediatamente como lemas. Obviamente, los millones de teoremas matematicos que existen no habrian podido ser traducidos a axiomas.
Un Sistema Deductivo es un conjunto de axiomas y un conjunto de reglas de inferencia. Una prueba en un sistema deductivo es una secuencia de formulas, tal que cada elemento es tambien un axioma o este puede ser inferido por elementos previos de la secuencia usando las reglas de inferencia. Si
es el ultimo elemento de una secuencia, es un teorema, la secuencia es una prueba de , y es demostrable, y se denota como .La Deduccion es puramente sintactica. Este acercamiento soluciona los problemas descritos a continuacion:
- Puede haber un número infinito de axiomas, pero solamente un número finito aparecerá en cualquier prueba.
- Cualquien prueba en particular consta de una secuencia finita de u conjunto de formulas, y la legalidad de cada deduccion individual puede ser facil y eficientemente determinada para la sintaxis de las formulas.
- La prueba de una formula demuestra claramente que axioma, teorema y reglas son usadas y para que proposito.
- Una vez que un teorema ha sido probado, podra ser usado en otras pruebas solo como un axioma.
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