3.1 PRUEBA DE LOS PROMEDIOS
Esta prueba es conocida como uniforme o rectangular, el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuida están dadas por las siguientes expresiones:
E(x) = 1″0 x dx = ½
Var = 1″0 ( x - ½)2 dx = 1/12 /2 1 - /2
Una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada e la siguiente forma
Hipótesis nula Ho : = ½
Hipótesis alternativa H1 : “ ½
En seguida, su promedio aritmético es evaluada de acuerdo a la siguiente expresión:
U = N.A.
Se determina el valor estadístico. Si
, entonces se acepta la hipótesis de los números pseudoaleatorios.
Ejercicio:
Paso 1: Ho : M = 1/2 con = 5%
Ho : M “ 1/2
0.828 0.744 0.663 0.169 0.090
0.365 0.151 0.105 0.646 0.198
0.073 0.915 0.245 0.584 0.647
0.414 0.296 0.460 0.237 0.671
0.608 0.700 0.353 0.414 0.963
X =
Z0 = /2= 0 1 - /2=
CONCLUCION:
PRUEBA DE LOS PROMEDIOS
/2 /2
MEYER
n <= 30
N > 30
U U(x)
1
1
5.2 PRUEBA DE FRECUENCIA
El estadístico usado en esta prueba es
FOi= frecuencia observada del i-ésimo subintervalo
FEi = frecuencia esperada del i-ésimo subintervalo
N = tamaño de la muestra
n = número de subintervalos
Este estadístico se compara con la cual representa una variable aleatoria Chi-cuadrada con n-1 grados de libertad y un nivel de significancia .
Si
, entonces se acepta la hipótesis.
Usar pruebas de bondad de ajuste x2
5.3 PRUEBA DE LA DISTANCIA
Los números pseudoaleatorios generados son considerados como dígitos, entonces la prueba consiste en contar el número de dígitos que aparecen entre ocurrencias sucesivas de un mismo dígito. Por ejemplo, 58245, ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos 5. La probabilidad de cada uno de los tamaños de hueco se obtiene con la siguiente expresión:
Como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar probabilidades para valores de i mayores o iguales a un determinado valor de n. Tal sumatoria se obtiene de acuerdo con la siguiente expresión:
El estadístico que se usa en estas pruebas se obtiene como :
entonces los números pasan la prueba. i ni Pi FOi Acum FEi FOi 0 81917 0.1 3 3 13(0.1)=1.3 3 1 78981 0.9 8 11 12(0.9)=1.17 8 2 97982 0.081 1 13 13(0.081)=1.053 1 3 7753 0.729 1 13 13(0.729)=9.477 1 4 72771 5 08160 6 64041 7 72141 8 25223 9 60814 NOTA = Entre los huecos no debe de haber frecuencia de 1 por lo tanto se sube al anterior
(3–1.3)2/1.3 = 2.2231 (8–1.17)2 /1.17 = 39.871 (1–1.053)2 /1.053 = 0.00266 (1–9.477)2 /9.477 = 7.5825 “ = 496792
x2
Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de huecos, considerando a los números pseudoaleatorios generados como números reales. i Pi FOi FEi 0 FO0 “= FOi ( ) 1 (1- ) FO1 “= FOi ( )(1- ) 2 (1- )2 FO2 “= FOi ( )(1- )2 . . . . . . . . . . . . i (1- )i FOi “= FOi ( )(1- )i . . . . . . . . . . . . >=n (1- )n FOn “= FOi(1- )n total 1.0 “ FOi “= FOi 0.78961 0.05230 0.10699 0.55877 0.14151 0.76086 0.12079 0.27738 0.65726 0.76269 0.80548 0.82654 0.29453 0.20852 0.42989 0.58518 0.98611 0.34488 0.34358 0.11537 0.89898 0.57880 0.67621 0.05010 0.00121 0.28269 0.73059 0.70119 0.18284 0.49962 0.38618 0.76910 0.68334 0.55170 0.10850 0.79982 0.45679 0.21631 0.87616 0.55742 0.58972 0.33216 0.03185 0.61168 0.09264 0.69623 0.17028 0.05475 0.91512 0.76262 0.29931 0.30831 0.83358 0.51781 0.03272 0.57410 0.26593 0.85903 0.43308 0.35286 0.24000 0.65559 0.38507 0.90829 0.94187 0.93655 0.88809 0.81772 0.36982 0.19904 0.54325 0.62400 0.09133 0.41678 0.33954 0.58244 0.85853 0.88752 0.33729 0.15506 0.23949 0.53559 0.33381 0.49383 0.75103 0.19962 0.65002 0.74579 0.79113 0.63453 0.19157 0.40644 0.08128 0.73465 0.22724 0.22287 0.07281 0.64183 0.44267 0.72102
=0.3 =0.7 = “ ; 0.4
Pi = (1- )i para i = 0,1,2,3…
i Pi FOi FEi 0 0.4 12 40(0.4) = 6.00 1 0.24 12 40(0.4)(0.6) = 9.6 2 0.144 10 40(0.4)(0.6) = 5.76 >=3 0.216 6 40(0.6) = 8.64 total 1.00 “70=40 “FE = 40
5.4 PRUEBAS DE SERIES Consiste en generar n números pseudoaleatorios de los cuales se forman parejas aleatorias entre Ui y Ui+2 . En seguida se determina la celda a que pertenece cada pareja ordenada como en la figura. 1 (n-1)/n (n-2)/n 2/n 1/n 1/n 2/n (n-2)/n (n-1)/n 1 Con lo cual se determina al frecuencia observada de cada celda. La frecuencia esperada de cada una de las celdas se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas por el total de celdas. Finalmente, conocida la frecuencia observada y esperada de cada celda se obtiene el estadístico:
Prueba de series. Para probar el grado de aleatoriedad entre Núm. sucesivos se forman parejas de N donde N= números pseudoaleatorios. (U1 ,U2), (U2 ,U3), (U3 ,U4), . . . (U8 ,U9), (U9 ,U10) En seguida, se determina la celda a que pertenece cada pareja. 1 n/n 4/n 3/n 2/n 1/n 0 1/n 2/n 3/n 1 n/n Con lo cual se determina la frecuencia esperada de cada celda se obtiene: N= Números 100 FE = N/n n= Particiones 5 si n = 5 se tiene una matriz de 5×5 = 25 =n si N = 100 se obtendran 99 parejas. FE = 99/25=
NOTA: Cuando la pareja de puntos cae en un vértice se coloca a la izq. es por la línea y abajo. Prueba de series: 0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234 0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657 0.34565 0.02387 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593 0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231 1- = 0.95 = 1–0.95 = 0.05 /2= 0.05/2 = 0.025 n=4 elige el valor de n. Núm. de parejas a formar N = 30–1 = 29 parejas FE = (N-1)/ n2 = (30–1)/ 42 = 1.8125 Paso 1: Ho: ri “ independiente H : ri “ dependiente. Crear un histograma de dos dimensiones con M intervalos, clasificando cada pareja de números consecutivos (ri, ri+1) dentro de las casillas de dicho histograma de frecuencias. El núm. total de pares ordenados en cada casilla formara la frecuencia observada: FOi. Paso 2: Calcular la frecuencia esperada en cada casilla FEi deacuerdo con FEi= num/m de núm. es el numero total de parejas ordenadas. Paso 3. Calcular el error C, con la ecuación siguiente:
Paso 4: Si el valor C es menor o igual al estadístico de tablas x2 con m-1 grados de libertad y una probabilidad de rechazo , entonces aceptamos que estadísticamente los números son independientes. (0.72484 , 0.48999) 1 (0.48999 , 0.50502) 3 2 1 2 (0.50502 , 0.39528 ) 0.75 (0.39528 , 0.36782 ) (0.36782 , 0.90234 ) 1 1 1 3 (0.90234 , 0.71890) 0.5 (0.71890 , 0.61234) 1 3 3 1 (0.61234 , 0.86322) 0.25 (0.86322 , 0.94134) 2 2 2 2 (0.94134 , 0.99872) (0.99872 , 0.27657) 0 0.25 0.5 0.75 1 (0.27657 , 0.34565) (0.34565 , 0.02387) (0.02387 , 0.67347) (0.67347 , 0.10987) (0.10987 , 0.25678) (0.25678 , 0.25593) (0.25593 , 0.82345) (0.82345 , 0.12387) (0.12387 , 0.05389) (0.05389 , 0.82474) (0.82474 , 0.59289) (0.59289 , 0.36782) (0.36782 , 0.03991) (0.03991 , 0.10461) (0.10461 , 0.93716) (0.93716 , 0.16894) (0.16894 , 0.98953) (0.98953 , 0.73231)
PRUEBAS DE CORRIDA Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en forma monotonicamente creciente o decreciente: por ejemplo 03, 23, 57, 92, 99 contienen una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92, 27 contiene (03,99), (223,92), (57) si se utiliza el signo + para identificar que el número que aparece a la derecha de otro es mayor, o - si es menor, se tiene que: 30, 23, 57, 92, 99 +, +, +, +, +, mientras que 03, 99, 23, 92, 57 +, -, +, - Esta prueba se basa en el supuesto que el numero de corridas es una variable aleatoria. Si una secuencia tiene más de 20 números, el numero de corridas que es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y varianza conocida. La prueba se realiza de la siguiente manera: Paso 1.- Se formula la hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria. Paso 2.- Se selecciona una muestra de tamaño n (n>20) Paso 3.- Se definen con los signos +, - las posibles corridas. Paso 4.- Se define la estadística r como el numero de corridas. Paso 5.- si n>20 y Ho es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal con media:
Paso 6.- Se acepta ho, a un nivel de riesgo , si
donde z(*) esta tabulada en la distribución normal. Ejemplo: Se tiene la siguiente secuencia de números pseudoaleatorios: 10 37 08 99 12 66 31 85 63 73 32 04 68 02 99 74 10 77 32 42 76 64 19 09 80 34 45 02 05 03 13 74 09 70 36 76 82 64 74 64 34 24 23 28 64 36 35 68 90 35 si r = 35
De tablas: Z(0.68) = 0.7517 Por lo que para el nivel de significancia por ejemplo 10%
Se afirma la Hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria. 5.7 PRUEBA DE POKER Esta prueba examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorio generado. La forma como esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a al vez y clasificándolos como : Par, dos pares, tercia, póker quintilla full y todos diferentes. Las probabilidades para cada una de las manos del póker diferentes se muestran enseguida: Todos diferentes = 0.3024 Un par = 0.504 Dos pares = 0.108 Tercia = 0.072 Full = 0.009 Quintilla = 0.0001 Con las probabilidades anteriores y con el número de números pseudoaleatorios generados, se puede calcular la frecuencia esperada de cada posible resultado, la cual al compararse con la frecuencia observada, produce el estadístico:
Si . Entonces los números pasan la prueba. i Pi FO FE Todos diferentes 0.3024 3 29(0.3024)=8.7696 (8.7696–3)2/8.7696=3.7958 Un par 0.504 Dos pares 0.108 Tercia 0.072 Full 0.009 Quintilla 0.0001
55787 dos pares 33333 Quintilla 16543 Todos diferentes 17145 Un par 51575 Tercia 44343 Full 11171 Póker Ho: Los N. A. son independientes con Si se acepta Ho. 5.8 PRUEBAS DE LAS CORRIDAS 5.8.1 Prueba de las corridas arriba y abajo del promedio En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios es generada. En seguida, una secuencia binaria es obtenida, en la cual es 0 si Ui es menor a 0.5 y 1 si es mayor. Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso e la cantidad de veces que una misma longitud de corridas se repite (frecuencia observada de la corrida de la longitud i). Una sucesión de i ceros (unos) enmarcada por unos (ceros) en los extremos, representa una corrida de longitud i. El Número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida se obtienen con las siguientes expresiones:
Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de la distribución Chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios generados es tomada. Prueba de corridas arriba y abajo del promedio. 0.65 1 0.55 1 0.91 1 0.25 0 i F0i 0.65 1 0.02 0 0 0.41 0 1 0.31 0 0.40 0 0.08 0 0.69 1 0.46 0 Ho: La secuencia de N. A. es aleatoria con M = 0.5 0.80 1 y 0.83 1 0.27 0 i FOi FEi 0 8 9 ( 9–8)2/9= 0.1111 1 7 4.25 (4.25–7)2 = 1.7794 15
La secuencia de No. es aleatoria con M= 0.5 y alfa =5%. Se acepta Ho. 5.8.2 Prueba de corridas arriba y abajo. Se genera una secuencia de números igual que en el inciso anterior y luego se obtienen una secuencia binaria, en la cual el i-ésimo término es cero si Uii< Ui+1 y 1 al contrario. Una vez obtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente y se obtienen la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El número total esperado para cada tamaño de corrida se obtiene con las siguientes expresiones:
Finalmente, el estadístico Chi-cuadrada se determina de acuerdo a la siguiente expresión:
Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar que el cálculo del estadístico Chi-cuadrada, la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser igual o mayor a 5. Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales frecuencias se deben agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencia esperada de los tamaños de corrida sea al menos 5. Si entonces los números pasan la prueba. pruebas de corridas arriba y abajo. i 1 0.84 1 2 0.53 1 3 0.43 0 4 0.45 1 5 0.74 0 Ho: La sec. De No, es aleatoria con 6 0.66 0 7 0.33 1 8 0.85 0 9 0.37 1 FE 20−1= 2/20! 10 0.69 0 11 0.10 1 12 0.76 0 13 0.68 0 14 0.60 1 15 0.97 0 16 0.03 1 17 0.72 0 18 0.17 1 19 0.29 0 20 0.16 1
i FOi FEi 0 10 8 ( 8–10)2/8= 0.1111 1 10 8. 9166 (8.9166–10)2 /8.9166=0.1316 10
Se acepta Ho. Los No. son aleatorios. PRUEBA DE KOLMOGOROV- SMIRNOV Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria. Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1]. Paso 1: se formula la hipótesis nula, Ho. De que los números provienen de una distri- bución uniforme en el intervalo cerrado [0,1]. Paso 2: Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados n = 1000. Sea Fn(x), de la siguiente manera. Paso 3: Calcule la función de distribución acumulada empírica fn(x) de la siguiente manera. -Ordene los valores de la secuencia, tal que para toda i. -Haga Fn(0)
Paso 4: Evalue la estadística de Kolmogorov-smirnov, de a partir de
Paso 5 Consulte la tabla de limites de aceptación para la prueba de kolmogorov- Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo alfa, si D es menor o igual a este numero se acepta Ho, de otra manera se rechaza. Ejemplo: De una tabla de número aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 Para que su valor oscile entre 0 y 1. 0.10 0.37 0.08 0.99 0.12 0.66 0.31 0.85 0.63 0.73 0.32 0.04 0.68 0.02 0.99 0.74 0.10 0.77 0.32 0.42 0.76 0.64 0.19 0.09 0.80 0.34 0.45 0.02 0.05 0.03 0.13 0.74 0.09 0.70 0.36 0.76 0.82 0.65 0.74 0.64 0.34 0.24 0.23 0.38 0.64 0.36 0.35 0.68 0.90 0.35 Se desea probar la hipótesis Ho: Provienen de una distribución uniforme en [0,1], a un nivel de significancia del 90% Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición para toda i. 1 0.02 2 0.02 3 0.03 4 0.04 5 0.05 6 0.08 7 0.09 8 0.10 9 0.10 10 0.10 11 0.12 12 0.13 13 0.19 14 0.23 15 0.24 16 0.26 17 0.32 18 0.34 19 0.34 20 0.35 21 0.35 22 0.36 23 0.36 24 0.37 25 0.38 26 0.42 27 0.45 28 0.63 29 0.64 30 0.64 31 0.64 32 0.65 33 0.66 34 0.68 35 0.68 36 0.70 37 0.70 38 0.73 39 0.74 40 0.74 41 0.74 42 0.76 43 0.80 44 0.82 45 0.85 46 0.90 47 0.94 48 0.97 49 0.99 50 0.99 Paso 3 Se construye Fn(xi) para toda i siendo n = 50/100 = 0.5
Fn(0.00) = 0.00 Fn(0.02) = 0.04 Fn(0.0.3) = 0.03 Fn(0.04) = 0.08 Fn(0.05) = 0.10 Fn(0.08) = 0.12 Fn(0.09) = 0.16 Fn(0.10) = 0.20 Fn(0.12) = 0.22 Fn(0.13) = 0.24 Fn(0.19) = 0.26 Fn(0.23) = 0.28 Fn(0.24) = 0.30 Fn(0.31) = 0.32 Fn(0.32) = 0.34 Fn(0.34) = 0.38 Fn(0.35) = 0.42 Fn(0.36) = 0.43 Fn(0.37) = 0.48 Fn(0.38) = 0.50 Fn(0.42) = 0.52 Fn(0.45) = 0.54 Fn(0.63) = 0.56 Fn(0.64) = 0.62 Fn(0.65) = 0.64 Fn(0.66) = 0.66 Fn(0.68) = 0.70 Fn(0.70) = 0.74 Fn(0.73) = 0.76 Fn(0.74) = 0.82 Fn(0.77) = 0.84 Fn(0.80) = 0.86 Fn(0.82) = 0.88 Fn(0.85) = 0.90 Fn(0.90) = 0.92 Fn(0.94) = 0.96 Fn(0.97) = 0.98 Fn(0.99) = 0.100 Paso 4: D = MAX [Fn(xi)-xi] D = [0.00 - 0.00] = 0 [0.04 - 0.02] = 0.02 [0.06 - 0.03] = 0.03 [0.08 - 0.04] = 0.04 D = 0.12; Que ocurre para Fn(0.38) Paso 5: Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene de la tabla, un valor de 0.170 como D < 0.170 se acepta Ho: Los 50 números si provienen de una distribución uniforme en el intervalo [0,1]. UNIDAD I I I Generación de variables aleatorias Funciones de probabilidad Definición: sea f(x) una función de variable real continua o discreta. F(x) es una función de probabilidad, si satisface las condiciones siguientes: 1)
2)
Función acumulada definición: Sea f(x) una función de probabilidad continua o discreta. Se define la función acumulada de f(x) denotada F(x) como: a)
Metodo de la transformada inversa Si f(x) es una función de probabilidad continua o discreta y F()x es su función acumulada, entonces podemos obtener la variable aleatoria x con distribución f(x) haciendo r = F(x); r”(0,1), despues despejamos x como x= F-1®; ri “(0,1) pseudoaleatorio uniforme, i = 0,1,2,3,4, . . . ,h-1
Metodo de rechazos Si f(x) es una función de variable aleatoria continua o discreta, acotada y definida para
y finitos, entonces se puede aplicar la técnica de rechazos para generar valores de la variable aleatoria x por los 4 pasos siguientes: 1.- Escalar f(x) multi`licándola por una constante positiva c tal que cf(x )<= 1; c= 1/m;
2.- Obtener x a través de la realción lineal x = a + (b-a)r; r “ (0,1) 3.- Generar parejas de números pseudoaleatorios (ri,ri+1)[ (r1,r2) (r2,r3) (r3,r4), . . . , (rh-2,rh-1)] 4.- Investigar si ri+1 <= cf(xi), si es así, se acepta xi si no se rechaza. i ni ri xi = a+(b-a)ri cf(xi) ¿ri+1<= cf(xi) ? 0 n0 r0 x0 cf(x0) 0 ó 1 1 n1 r1 x1 cf(x1) 0 ó 1 2 n2 r2 x2 cf(x2) 0 ó 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 nh-1 rh-1 xh-1 cf(xh-1) último se compara con r0 n nh=0 r0 ----- ------- ----- a=−1 b= 1 c= /2
0 < r <1 0 > r >−1 1>1-r > 0 0<1-r<1 0 < R < 1
Distribución de Poisson Sea t una variable aleatoria discreta, con distribución de Poisson con media .
La función inversa se obtiene formando productos de variables leatorias uniformemente distribuidos en [0,1], denotados ri, hasta que este producto sea menor que e , es decir, hasta que se satisfaga la desigualdad:
Al cumplirse esta desigualdad se encuentra el valor de t (la vaiable aleatoria con distribición de Poisson) con media . Distribución lognormal. Sea t una variable aleatoria positiva con distribución lognormal. Entonces: x = log t
La función inversa se obtiene de :
recomendandose que n>=12 Distribución Geometrica. Sea t una variable aleatoria con función de densidad geometrica f(t)= pqt t= 0,1,2,3,…. con q = 1- p 0 <= p <= 1 La función de distribución es:
donde r es un número aleatorio con distribución uniforme en [0,1]. Nota: Esta función t debe redondearse al entero inmediato inferior. Distribución uniforme en el intervalo cerrado [a,b] Sea t una variable aleatoria distribuida exponencialmente, con media 1 / ; su función de densidad es:
donde r es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1]. Distribución Erlang Sea t una variable aleatoria con distribución de Erlang con media R/ y varianza R/ 2, es decir, con densidad
La función inversa es:
donde r1,r2,…rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,1]. Distribución Normal Sea t una variable aleatoria con distribución normal con media M y varianza 2 su densidad es:
Entonces si M=0 y 2=1 la función inversa es aproximadamente: igual a:
donde r1,r2,…rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1]. Es recomendanle que n>=10. Si se quiere una variable aleatoria con distribución normal con una media y varianza cualquiera, la formula anterior se convierte en:
Distribución ji-cuadrada Sea t uan variable aleatoria con distribución ji-cuadrada con n grados de libertad y densidad dada por;
si n es un numero par , la función inversa es:
mientras que si n es non, la función inversa es la suma de n variables aleatorias cuadradas, cada una de ellas con distribución normal, M=0 y =1
donde cada ri se obtiene de :
Distribución binomial negativa (o de pascal) Sea t una variable aleatoria con función de densidad binomial negativa
donde r1,r2,…rR son R variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1].
Distribución Binomial Sea t una variable aleatoria t con distribución binomial se genera de la suma de n varibles (no aleatorias) xi i=1,… tal que cada vez que se obtiene una variable aleatoria ri, i=1,2,3…n con distribución uniforme en [0,1] se realiza de la siguiente transformación:
Distribución empirica
Variables aleatorias con cualquier distribución empiríca discreta o continua que pueda aproximarse por una distribución discreta, pueden generarse para el siguiente metodo:
Si t es una variable aleatoria r con distribución uniforme en [0,1] que cumpla con la siguiente desigualdad. Si t=bi con probabilidad
Números Aleatorios con distribuciones diferentes a la uniforme.
Para cada variable aleatoria x con distribución cualquiera F(x), existe una variable aleatoria r, unica, distribuida uniformente, tal que: F(x)= r.
r es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución cualquiera F(*) tenga un valor menor a x. Cuando es posible encontrar la función inversa F-1®=x, se pueden generar variables aleatorias con distribución F(*), a partir de variables aleatorias r, distribuidas uniformente en el intervalo cerrado [0,1].
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