Si la varianza s
de una población normal es desconocida, y queremos verificar si es igual o no a determinado valor, podemos plantear las siguientes pruebas:
1) , , .
El estimador de la varianza poblacional s
es la varianza muestral S
, y la variable aleatoria asociada con el estadístico es la distribución chi cuadrado, definida como:
Si X1, X2, Xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal, y si S
es la varianza muestral, entonces el estadístico de prueba bajo H0 se calcula como:
Debe tenerse en cuenta que como la distribución chi cuadrado no es simétrica, entonces las regiones de críticas deben calcularse por separado para cada tipo de prueba.
El criterio de decisión es el siguiente: Rechace la hipótesis nula si: · cuando la hipótesis alternativa sea · cuando la hipótesis alternativa sea · cuando la hipótesis alternativa sea , o equivalentemente se acéptala hipótesis nula si:
Al igual que en el caso de la media poblacional, el criterio de rechazo puede basarse en el cálculo del valor P, o en el cálculo del límite físico para la varianza muestral de acuerdo con las características evaluadas. Es decir, en vez de decidir la aceptación o el rechazo según el estadístico de prueba X2, se puede definir el límite para el valor máximo y/o mínimo que pueda tomar la varianza muestral S . Los criterios de decisión serían: Rechace la hipótesis nula si:
· cuando la hipótesis alternativa sea · cuando la hipótesis alternativa sea · cuando la hipótesis alternativa sea , o
Ejemplo. Suponga que el espesor de un componente de un semiconductor es una dimensión crítica. El proceso de producción de tal característica se distribuye normalmente con una desviación estándar de 0.6 milésimas de pulgada. Para controlar el proceso se toman muestras periódicas de veinte piezas, y se define un límite de control con base en una probabilidad de 0.01 de que la varianza muestral exceda dicho límite, si el proceso está bajo control. Qué se puede concluir si para una muestra dada la desviación estándar es 0.84 milésimas de pulgada?
Solución. El proceso se considera fuera de control si la desviación estándar muestral (o la varianza) exceden de un cierto límite. Por lo tanto, las hipótesis pueden plantearse como
n = 20, a = 0.01
El estadístico de prueba está dado por:
Los diferentes criterios de aceptación para esta situación son los siguientes:
· Usando el estadístico de prueba. Para 19 grados de libertad y un nivel de significancia de 0.01 el valor crítico sería = 36.191. Como el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula, y se considera que el proceso no está bajo control.
· Valor P. Otra forma de tomar la decisión es calcular el valor P, es decir, la probabilidad de exceder el valor de X
= 37.24 bajo la hipótesis nula. Esta probabilidad calculada usando la distribución chi cuadrado con 19 grados de libertad es aproximadamente de 0.074. Como P = 0.0074 < a = 0.01 se rechaza la hipótesis nula.
· Definiendo el límite para la varianza S . El valor máximo que puede tomar la varianza muestral bajo la hipótesis nula está dado por ó la desviación estándar muestral es menor que Como la desviación estándar muestral es 0.84, mayor que el valor máximo permisible de 0,828 se rechaza la hipótesis nula de que el proceso se encuentra bajo control.
