PARA LA MEDIA
Cuando se van a realizar pruebas de hipótesis relativas a la media poblacional m se debe saber si la varianza poblacional s² es conocida o desconocida, ya que la distribución subyacente al estadístico de prueba será la normal estándar si la varianza es conocida, y la distribución t en caso contrario.
Las diferentes hipótesis que se pueden presentar son las siguientes:
1) Ho: m = m0 H1: m > m0
2) Ho: m = m0 H1: m < m0
3) Ho: m = m0 H1: m ¹ m0
Las pruebas de hipótesis para la media se basan en el estadístico dado por la media muestral cuya distribución tiende a la distribución normal (m, s² /n) para muestras grandes.
Prueba de hipótesis para la media con varianza conocida
Cuando la varianza s² es conocida, las pruebas de hipótesis se basan en el hecho de que la variable aleatoria Z definida como , se distribuye normalmente con media cero y varianza unitaria.
Para el caso de las hipótesis Ho: m = m0 contra H1: m > m0 vimos, al analizar las mejores pruebas, que la mejor región crítica de tamaño a consistía en rechazar H0 si la media muestral era mayor o igual que una constante c dada por . Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral dada por:
y los criterios de decisión serían los siguientes:
a) Rechace Ho: m = m0 si ³ c, donde . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z ³ Za. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la derecha del valor Z calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a.
Para el caso de las hipótesis Ho: m = m0 contra H1: m < m0 la mejor región crítica de tamaño a consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c dada por . Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral , y los criterios de decisión sería los siguientes:
a) Rechace Ho: m = m0 si £ c, donde . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z £ Z1-a. Como Za = -Z1-a se rechaza Ho si Z £ -Za o equivalentemente, si êZ ê³ Z a. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a.
Por último, si las hipótesis fueran Ho:m = m0 contra H1:m ¹ m0 la mejor región crítica de tamaño a (aunque no es uniformemente más potente como en el caso de las dos anteriores) consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c1 ó mayor igual que otra constante c2. Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral , y los criterios de decisión serían los siguientes:
a) Rechace Ho: m = m0 si £ c1 ó ³ c2, donde y . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z £ -Za/2 ó Z ³ Za/2, ó simplemente, si êZ ê³ Z a/2. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado si Z es negativo, o a la derecha del valor de Z si Z es positivo, y rechace Ho:m = m0 si P < a. También P se puede calcular como el área a derecha del valor absoluto de Z. En resumen, el estadístico de prueba se basa en:
Ejemplo. Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en la etiqueta. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gramos con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas condiciones y usando un nivel de significancia de 0.05,¿Qué actitud debe tomar el inspector?.
Solución. Este problema lo podemos plantear como una prueba de hipótesis del siguiente tipo:
1) Ho: m = m0 = 750 H1: m < m0 (hay preocupación si el peso medio es inferior al especificado)
con n = 100, a = 0.05, s = 5 gramos. Se tiene que Z0.05 = 1.645. Por lo tanto, la región crítica está dada por = 750 - 1.645 x 5/10 =749.18. Por lo tanto como la media muestral es 748 gramos, se rechaza la hipótesis de que el promedio de cada caja sea 750 gramos. Por lo tanto, deben tomarse las medias necesarias para corregir esta situación, que va en contra de los intereses del consumidor. Usando los otros criterios de aceptación tenemos que Z = - 4.0 y el valor P es aproximadamente cero (P = 0.0).
Prueba de hipótesis para la media con varianza desconocida
Cuando la varianza s² no es conocida, las pruebas de hipótesis se basan en el hecho de que la variable aleatoria T definida como tiene una distribución t con n-1 grados de libertad. Por lo tanto, al analizar los diferentes casos presentados anteriormente para las pruebas de hipótesis con respecto a la media, bastará con cambiar la varianza poblacional s² por su estimativo muestral S² y la distribución normal estándar por la distribución t. En consecuencia los diferentes casos a analizar serán los siguientes:
Si tenemos las hipótesis Ho:m = m0 contra H1:m > m0 la mejor región crítica de tamaño a consiste en rechazar H0 si la media muestral es mayor o igual que la constante c, que en este caso está dada por . Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calculan la media muestral y la varianza muestral s² dados por:
, y los criterios de decisión serían los siguientes:
a) Rechace Ho: m = m0 si ³ c, donde . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si T ³ tn - 1, a. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución t a la derecha del valor T calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a.
Para el caso de las hipótesis Ho: m = m0 contra H1: m < m0 la mejor región crítica de tamaño a consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c dada por . Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calculan la media muestral y la varianza muestral S², y los criterios de decisión sería los siguientes:
a) Rechace Ho: m = m0 si £ c, donde . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si êT ê³ tn - 1, a. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución t a la izquierda del valor T calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a.
Por último, si las hipótesis fueran Ho:m = m0 contra H1:m ¹ m0 la mejor región crítica de tamaño a (aunque no es uniformemente más potente como en el caso de las dos anteriores) consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c1 ó mayor igual que otra constante c2. Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral , y los criterios de decisión serían los siguientes:
a) Rechace Ho:m = m0 si £c1 ó ³c2, donde y . b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si êT ê³ tn - 1, a/2. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución t a la izquierda del valor T calculado si T es negativo, o a la derecha del valor de T si T es positivo, y rechace Ho: m = m0 si P < a. También P se puede calcular como el área a derecha del valor absoluto de T. En resumen, el estadístico de prueba se basa en
Ejemplo. Un modelo físico sugiere que el aumento medio de temperatura en el agua usada como enfriador en una cámara de un compresor no debería ser mayor de 5°C. Los aumentos de temperatura en el refrigerante medidos en 8 períodos de funcionamiento del compresor fueron de 6.4, 4.3, 5.7, 4.9, 6.5, 5.9, 6.4 y 5.1 grados centígrados. Con un nivel de significancia del 5%, cree Usted que los datos contradicen la información del modelo físico?
Solución. Este problema lo podemos plantear como una prueba de hipótesis del siguiente tipo:
Ho: m £ m0 = 5°C H1: m > 5°C
con n = 8, a = 0.05. La hipótesis nula se plantea como menor o igual a m0, que es una hipótesis compuesta. Sin embargo, para la realización de la prueba, se tomará el máximo aumento permisible en la temperatura que sería m = m0 = 5, con lo cual la hipótesis se convierte en una hipótesis simple. Se tiene que: = 5.65, s² = 0.6571, S= 0.81, t7, 0.05 = 1.895. Por lo tanto, la región crítica está dada por . Por lo tanto como la media muestral 5.65 es superior al valor crítico de 5.54, se rechaza la hipótesis de que el aumento promedio de la temperatura es 5 grados (o inferior), a favor de la hipótesis de que es mayor.
Usando los otros criterios de aceptación tenemos que:
· . Como T = 2.27 > 1.895 se rechaza la hipótesis nula. · El valor P es aproximadamente 0.0287. Como P = 0.0287 es menor que a = 0.05, se rechaza de nuevo la hipótesis nula.
