En la fábrica de llantas la hipótesis nula y alternativa para el problema se plantearon como sigue: Ho: μ = 25 000 H1: μ ≠ 25 000
Si se considera la desviación estándar σ las llantas producidas en el turno de día, entonces, con base en el teorema de limite central, la distribución en el muestreo de la media seguiría la distribución normal, y la prueba estadística que esta basada en la diferencia entre la media de la muestra y la media μ hipotιtica se encontrara como sigue: Si el tamaño de la región α de rechazo se estableciera en 5% entonces se podrían determinar los valores críticos de la distribución. Dado que la región de rechazo esta dividida en las dos colas de la distribución, el 5% se divide en dos partes iguales de 2.5%. Dado que ya se tiene la distribución normal, los valores críticos se pueden expresar en unidades de desviación. Una región de rechazo de 0.25 en cada cola de la distribución normal, da por resultado un área de .475 entre la media hipotética y el valor crítico. Si se busca está área en la distribución normal, se encuentra que los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y no rechazo son + 1.96 y - 1.96
Por tanto, la regla para decisión sería: Rechazar Ho si Z > + 1.96 O si Z < - 1.96 De lo contrario, no rechazar Ho
No obstante, en la mayor parte de los casos se desconoce la desviación estándar de la población. La desviación estándar se estima al calcular S, la desviación estándar de la muestra. Si se supone que la población es normal la distribución en el muestreo de la media seguiría una distribución t con n-1 grados de libertad. En la práctica, se a encontrado que siempre y cuando el tamaño de la muestra no sea muy pequeño y la población no este muy sesgada, la distribución t da una buena aproximación a la distribución de muestra de la media. La prueba estadística para determinar la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población cuando se utiliza la desviación estándar S de la muestra, se expresa con: Para una muestra de 100, si se selecciona un nivel de significancía de .05, los valores críticos de la distribución t con 100–1= 99 grados de libertad se puede obtener como se indica en la siguiente tabla:
Como esta prueba de dos colas, la región de rechazo de .05 se vuelve a dividir en dos partes iguales de .025 cada una. Con el uso de las tablas para t, los valores críticos son –1.984 y +1.984. La regla para la decisión es: Rechazar Ho si >+1.984 O si - 1.984 De lo contrario, no rechazar Ho
Los resultados de la muestra para el turno de día fueron =25 430 millas, =4 000 millas y = 100. Puesto que se esta probando si la media es diferente a 25 000 millas, se tiene con la ecuación
Dado que = 1.075, se ve que −1.984 < +1.075 < + 1.984, entonces no se rechaza Ho. Por ello, la de cisión de no rechazar la hipótesis nula Ho. En conclusión es que la duración promedio de las llantas es 25 000 millas. A fin de tener en cuenta la posibilidad de un error de tipo II, este enunciado se puede redactar como “no hay pruebas de que la duración promedio de las llantas sea diferente a 25 000 millas en las llantas producidas en el turno de día”.
