Definición: Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

APLICACIONES

Ejemplo: Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que

Evaluando

Es decir,

Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

Por lo tanto,

Con lo cual,

(x;y;z) = (0;-(1/3) z;z) = z(0;-(1/3);1)

Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

Nota: que al resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada. IMAGEN O RECORRIDO

Recordemos la definición de recorrido.

Definición: Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es como el conjunto de

los vectores que tienen al menos una preimagen.

Ejemplo: Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de

Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.

Para ello, sean tales que

T(x;y;z) = (a;b;c)

(2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

5.3 DEFINICIÓN NÚCLEO KERNEL TRANSFORMACIÓN LINEAL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

APLICACIONES

Ejemplo: Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que

Evaluando

Es decir,

Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

Por lo tanto,

Con lo cual,

(x;y;z) = (0;-(1/3) z;z) = z(0;-(1/3);1)

Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

Nota: que al resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.

IMAGEN O RECORRIDO

Recordemos la definición de recorrido.

Definición: Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen.

Ejemplo: Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.

Para ello, sean tales que

T(x;y;z) = (a;b;c)

(2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

Luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto,

Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c)) = {(a;b;c) /a-b-c=0} = <(1;1;0);(1;0;1)>:

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

Luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto,

Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c))

= {(a;b;c) /a-b-c=0}

= <(1;1;0);(1;0;1)>: