Propiedades De Las Relaciones

Tema 2.2

 !Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M.

Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados. Ver sección 2. Relaciones Introduccion.

‘Definición:’ Una relación R de A a B es:

Muchos-a-uno, M-1 .

si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es
existen (x,y), (z,y) distintas en la relación, con símbolos
(∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ^ x ≠ z)

 !Uno-a-muchos ‘1-M’  !si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es 
existen (x,y), (x,z) distintas en la relación, con símbolos 
(∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ B) ((x,y) ∈ R ^ (x,z) ∈ R ^ y ≠ z)

 !Muchos-a-muchos ‘M-M’ ! si es muchos-a-uno y uno-a-muchos. \\O sea que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento.\\ O sea que cumple las dos definiciones anteriores.

 !Uno-a-uno ‘1–1′  ! si no es muchos-a-uno ni uno-a-muchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismo segundo elemento. 

Esto significa que cumple las dos condiciones siguientes
(∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ B)((x,y) ∈ R ^ (x,z) isin; R ⇒ y = z)
(∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ A)((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ⇒ x = z)

‘Representación matricial:’

Una relación entre dos conjuntos A y B puede ser representada por una matriz binaria, que consiste en 0′s y 1′s . Asociamos cada elemento del primer conjunto A con un renglón de la matriz y cada elemento del segundo conjunto B con una columna de la matriz. Los elementos deben estar ordenados. En el correspondiente lugar del renglón y columna asociada a un par de elementos el valor es 1 si el par ordenado está en la relación y 0 si el par no está.

 !Ejemplo: Si A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3} y  la relación 
R = {(a,2), (a,3), (b,1), (d,2)} entonces la matriz es

 La representación matricial nos da otra forma de poder manejar una relación y es muy útil sobretodo cuando la cantidad de elementos en los conjuntos es pequeña, también nos sirven para reconocer fácilmente que propiedades tiene una relación sobre un conjunto como se ve en la siguiente sección.

 Definición. Una función f  de un conjuto A a un conjunto B es una relación que es 1–1 o M-1. Notación: f : A → B.