La programación no estructurada es un paradigma de programación donde todo el código se contiene en un solo bloque continuo. Esto es contrario a la programación estructurada, donde las tareas programatic se pueden partir adentro a secciones más pequeñas conocidas como las funciones o subprogramas, que pueden ser llamados siempre que se requieran. Los lenguajes de programación no estructurada tienen que confiar en declaraciones del flujo de la ejecución tales como goto, utilizado en muchos lenguajes para saltar a una sección especificada del código.
El código de fuente no estructurado es difícil de leer y de eliminar errores. Sin embargo, la programación no estructurada todavía se necesita en algunas lenguajes scripting tales como archivos batch del MS-DOS, y para programar algoritmos intensivos de la CPU en el lenguaje ensamblador o C, donde la velocidad de procesamiento es más importante que legibilidad.
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¿Qué es la programación lineal ?
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas fucniones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Para hacernos una idea más clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1: Problema de máximos. En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 ptas. y cada saco de Q a 800 ptas. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos?
Ejemplo 2: Problema de mínimos. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de limón es de 30 pesetas y 20 pesetas uno de fresa.
En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales.
| Hdr | Hdr | Hdr |
|---|---|---|
Nº kg de A kg de B
P x 8x 2x Q y 10y 5y
80 25
Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto : x 0, y 0 Conjunto de restricciones:
8x + 10y 80 2x + 5y 25 x 0, y 0
2) Si representamos por x el número de yogures de limón e y al número de yogures de fresa, se tiene que la fución de coste es Z = 30x + 20y. Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:
De número : x + y 80 De fermentación: 0.5x + 0.2y 9000 Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0 Conjunto de restricciones:
x + y 80 0.5x + 0.2y 9000 x 0, y 0
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Maximizar z=f(x,y)=ax+by+c sujeto a: A1x+B1Y≤C1
Azx+BzY≤Cz
.
.
.
AnX+BnY≤Cn
puediendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:
La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a … ( menores: < o ); como mínimo de … (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible.
La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
En ocasiones utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programación lineal.
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[[INTRODUCCIÓN Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de pesos a muchas compañías o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede manejar. Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas. La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un problema de programación lineal. Aún más, se dispone de un procedimiento de solución extraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas, incluso los de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de la programación lineal en las últimas décadas.
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general. El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad. Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Z = valor de la medida global de efectividad xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,…,n) cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,…,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,….,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,….,m y j = 1,2,….,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo.
FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO
Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,….,xn para: optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1×1 + c2×2 +….+ cnxn,
sujeta a las restricciones:
a11×1 + a12×2 +….+ a1nxn (<=,>=,=) b1
a21×1 + a22×2 +….+ a2nxn (<=,>=,=) b2
.
.
.
am1×1 + am2×2 +….+ amnxn (<=,>=,=) bm
X1 >= 0, X2 >= 0, …, Xn>=0.
SUPOSICIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
PROPORCIONALIDAD
La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal.
ADITIVIDAD
Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular.
Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.
DIVISIBILIDAD
Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.
LIMITACIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELO DETERMINÍSTICO
El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: Cj, aij y bi; de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica, o realizarse un análisis de sensibilidad.
MODELO ESTÁTICO
En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables.
MODELO QUE NO SUBOPTIMIZA
Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denomina programación lineal por metas.]]
