TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces:
a • ( b × c ) = a 1 ( b 2 c 3 – b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 – b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 – b 2 c 1 )
Teoremas Sean a , b y c vectores, entonces:
a • ( b × c ) = b • ( c × a ) = c • ( a × b )
a • ( b × c ) = ( a × b ) • c
| a • ( b × c ) | = volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
A veces se define el producto mixto entre tres vectores Attach:ijk.ext Δ , y como
Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular también como el determinante de la matriz Attach:ff.ext Δ que se forma con las componentes de los vectores, es decir
Attach:abc.ext Δ
Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo formado con las aristas de los vectores Attach:ijk.ext Δ , y , ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos que:
donde Attach:seno.ext Δ no es sino el área de la base del paralelogramo (ver sección 4.3.4) y Attach:coseno.ext Δ resulta ser la altura de dicho paralelepípedo. El área de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geométricos.
Sería un buen ejercicio para el lector intentar demostrar más rigurosamente estas últimas afirmaciones
