Aplicaciones Físicas y Geometricas De Productos Escalares
Y Vectoriales
Antes que nada, recordemos que es, y como se define un vector.Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer:
a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma)
b) Una dirección, que es la recta a la que pertenece
c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos “+” para un lado y “-“ para el otro.
Los vectores pueden situarse en el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.
En física un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas, en las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido.
Un vector tiene en general n componentes que corresponden a las n filas de la matriz, sin embargo las magnitudes que vamos a manejar en los temas correspondientes a este curso de Física General, únicamente exigirán 3 componentes como máximo y 2 en casos particulares (un vector de una sola componente sería un escalar, como un tensor de una sola columna es un vector). Es frecuente y resulta muy intuitivo representar los vectores en forma gráfica, por medio de una flecha, cuya longitud representa el módulo o valor absoluto de la magnitud, la recta en la que está contenida la flecha sería la dirección y la cabeza de la flecha indicaría el sentido.El módulo de l se representará por l o por |l|.
Producto escalar de dos vectores.
Dados 2 vectores v y v’ no nulos, el producto escalar se define como un escalar tal que:v.v’ = xx’ + yy’ + zz’
v.v’ = v.v’ cos a
El producto escalar tiene la propiedad conmutativa, es decir, v.v’ = v’.v. Igualmente el producto escalar tiene la propiedad distributiva respecto de la suma: v.(a + b) = v.a + v.b, como puede comprobarse fácilmente.
Producto vectorial de dos vectores.
Dados 2 vectores v y v’, el producto vectorial se define como un vector u = v x v’ tal que su dirección será la de una recta perpendicular a ambos vectores v y v’, o sea, al plano vv’, y su sentido se determina por la regla del sacacorchos o de la mano derecha. El módulo del producto vectorial es u = v.v´ sen a
El producto vectorial no tiene propiedad conmutativa. v x v’ = - (v’ x v)
Aplicaciones en matemáticas.
Área : el producto vectorial se utiliza para calcular el área del paralelogramo determinado por los vectores
Ejemplo: | (2, 5) x (3, 2)| = | 2 . 2 - 5 . 3| = | 4 - 15| = | - 11| = 11.
Aplicaciones en física.
Una fuerza tiene una magnitud y dirección. Si 2 fuerzas u y v actúan sobre un punto, la fuerza resultante sobre el punto, es la suma vectorial de las 2 fuerzas.
Ejemplo
Un peso de 200 newtons es soportado por 2 cables, uno a 33 Grad. y otro a 50 Grad. determine la magnitud de la tensión en cada cable.
El peso w y las 2 tensiones u y v son fuerzas que se comportan como vectores. Cada uno de estos vectores se puede expresar como la suma de un componente horizontal y otro vertical. Para alcanzar el equilibrio, (1) la magnitud de la fuerza izquierda debe ser igual a la magnitud de la fuerza derecha y (2) la magnitud de fuerza hacia arriba debe ser igual a la magnitud de fuerza hacia abajo. Así ,
(1) |u| cos 33 = |v| cos 50
(2) |u| sen 33 + |v| sen 50 = |w| = 200
al despejar v en (1) y sustituir en (2), obtenemos
|u| = 200/sen 33 + (cos 33)(tan 50) = 129.52 newtons
entonces
|v| = 129.52 cos 33 / cos 50 = 168.99 newtons
“”--------------------------------------------”“
StrongAPLICACIONES GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL
CALCULAR EL AREA DEL SIGUIENTE PARALELOGRAMO CON VERTICES:
A=(5,2,0), , B=(2,6,1)
C=(2,4,7) D=(5,0,6)
SOLUCION:
CALCULAMOS LAS COMPONENTES DEL VECTOR
AB=B-A=(2–5,6–2,1–0)=←3,4,1>
AD=D-A=(5–5,0–2,6–0)=<0,2,6>
VECTORES
AB=−3i+4j+k
AD=0i-2j+6k
autor:
EFRAIN A.S.B.