(i) con integral indefinida
El problema mas sencillo de ecuaciones diferenciales surge si la función ƒ(x,y) en no depende de la solución desconocida,
De manera que la ecuacion diferencial es
(1)Despejar y de (1) es justo lo que hace la anti diferencial en calculo.
Aunque (1) se puede resolver mediante una integral.
Ejemplo: De integral indefinida
Considere la siguiente ecuacion diferencial sencilla
Y′ = 3×2 , (2)
Por integración se obtiene ∫ dy =3 ∫ x2 dx = x3 + c ó
Y = x3 + c (3)
Donde c es una consonante arbitraria . De este ejemplo, se observa que las ecuaciones diferenciales tienen, en general, muchas soluciones. La ecuacion (3) se llama la solución general de (2) ya que c puede tener cualquier valor real.Con frecuencia, principalmente en las aplicaciones, lo que interesa es una solución especifica de la ecuacion diferencial que debe satisfacer alguna condición adicional, a esto se le llama condición inicial o valor de frontera . Por ejemplo, si y = 1 para x = 3 , esto en términos matemáticos se escribe
y (3)=1, si se sustituye x = 3 y y=1 en (3), entonces c = −8. Entonces, la solución única de la ecuacion diferencial (2) es
y = x2 - 8.
(ii) Con integral definida
Por lo general, debe darse una integral definida para resolver la ecuacion diferencial
y′ = ƒ(x) (4)
Si no se usa una integral explicita. El resultado puede incorporar automáticamente la condición inicial y(x0)= y0 . Si se integran ambos lados de la ecuacion diferencial (4) respecto a x desde x0 a x, se obtiene:
De donde se deduce
Ejemplo: Con integral definida
Resolver la ecuacion diferencial
Sujeta a la condición inicial y(3) = 5 , al integrar se tiene:
En este problema, la condición inicial se aplica desde el principio en los límites de la integral y automáticamente nos da una solución particular de la ecuacion diferencial.
EJEMPLO: MOVIMIENTO CON GRAVEDAD
Suponga que se lanza una piedra hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial, y que la única fuerza es la generada por la gravedad. ¿Qué tan alto llega la piedra antes de empezar a descender de regreso al suelo?
SOLUCIÓN: LA ECUACION DIFERENCIAL (a = g = v ′ = y ′′ ) es:
y′′ =-g (5)
Las condiciones iniciales son, y = 0 y y ′ = v0 en t = 0.
Mediante integraciones sucesivas de (5) y aplicando las condiciones iniciales, se obtiene:
De (7) se observa que la altura es una función del tiempo.Para determinar la altura máxima, primero se determina el tiempo en que la piedra alcanza la altura máxima . Del calculo sabemos que la máxima altura se obtiene cuando v = 0, de (6) tenemos:
Sustituyendo t de altura máxima en (7) , se obtiene altura máxima, esto es:
