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Cambiar la introducción, título Inducción Matemática
Explicar un poco más el algoritmo, poner con rojo la meta e insistir que no es parte de la demostración.
Explicar problemas de divisibilidad, dos o tres tipos.
Resolver el problema de las torres de Hanoi.
Explicar el caso del invariante en un programa de computación.
poner varios ejercicios resueltos.
1. Historia de las Matemáticas
Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos de resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclidiana y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las Ciencias Naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa del cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian en las ecuaciones diferenciales.
Los números que usaron para representar las cantidades continuas son los números reales, y el estudio detallado de sus propiedades se denomina análisis. Por razones matemáticas, es conveniente introducir los números del complejo que se estudian en el análisis complejo.
El concepto central que se usa para describir una variable cambiante es que de una función, y su estudio, se denomina análisis funcional. Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
1.1 Principio de Inducción Matemática
Dice Giuseppe Peano acerca de los números naturales {0,1,2,3…}
Axiomas de Peano
| 1.. | El 0 es un número… |
| 2.. | El sucesor inmediato de un número también es un número… ’ |
| 3.. | 0 no es el sucesor inmediato de ningún número |
| 4.. | Dos números no tienen el mismo sucesor inmediato… ’=’n=m |
| 5.. | Toda propiedad perteneciente a 0 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números (inducción matemática)… |
| Tal que sea S un subconjunto de | |
| tal que [B] 0S | |
| [I] kS’S | |
| entonces S= |
Pasos Generales de Inducción Matemática
| PASO | DESCRIPCION |
|---|---|
| [F] n | Escribir la formula en base a n |
| [B]n=1; | Probar el caso base para n=1 (generalmente) |
| [M]n=k+1; | Escribir la meta n=k+1 como apoyo. |
| [I] | Paso Inductivo: se divide en dos pasos: |
| [H]n=k; | Hipótesis: Formula para n=k |
| [H→M] | Llegar de la Hipótesis a la meta: mediante operaciones algebráicas. |
Ejemplo de inducción matemáticas
- [F]
- [B] Supongamos que:
- [M] Supongamos que:
=
- [I]
- [H] Supongamos que:
- [H→M] La meta a donde queremos llegar
Mediante ecuaciones algebraicas vamos a llegar de la hipótesis a la Meta
=
=
=
=
=
!! TERMINAMOS !!Ejercicios propuestos:
Demuestre por inducción matemática
1.
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10.
Ricardo Martínez?
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