PERMUTACIONES Y COMBINACIONES (TECNICAS DE CONTEO)
OBJETIVO.- Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de elementos de un espacio muestra o suceso.
Considera que alguien desea viajar en autobús, tren o avión, para un periodo de vacaciones de una semana a uno de los cinco lugares de veraneo mas concurridos del país.
¿De cuantas maneras diferentes se podría lograr esto?
Autobús Acapulco
Can Cun
Tren Isla Mujeres
Puerto Vallarta
Avión Mazatlán
¿Puedes escribir todos los posibles arreglos?
Como se a visto en la sección anterior, el cálculo de probabilidades se reduce a contar el número de posibles resultados del espacio muestra y de los sucesos. En muchos casos a resolver es posible encontrar los posibles resultados sin hacer la lista de los elementos o sin describir los conjuntos S y E.
ORDENAMIENTOS CON REPETICIÓN
Al determinar el número de posibles formas en que puede ocurrir un suceso estamos determinando los posibles ordenamientos de los elementos, en el caso de un suceso que se puede dividir en k sucesos simples y si los elementos se pueden repetir, es decir los resultados son independientes, entonces las forma en que puede ocurrir el evento compuesto son:
Suceso 1 2 3 4 … k
Posibilidades n n n n … n
Usando el principio multiplicativo, la cantidad total de formas es:
n x n x n x n…x n= nk
Por ejemplo, si un dado se lanza cuatro veces consecutivas, el número de formas en que puede ocurrir el espacio muestra es 64 = 1296
ORDENAMIENTOS SIN REPETICIÓN (PERMUTACIONES)
Si ahora consideramos los diferentes resultados de un experimento o suceso en el cual los elementos no se pueden repetir, tendremos un ordenamiento sin repetición, si el primer elemento puede ocurrir de n formas, el siguiente podrá ocurrir de n-1 formas, el tercero de n-2 y así sucesivamente hasta que el último solo puede ocurrir de 1 forma, suponiendo que considerados igual numero de sucesos que elementos posibles, entonces el número total de formas es:
Posición 1 2 3 4 … k … n-1 n
Posibilidades n-1 n-2 n-3 n-(k-1) 2 1
Usando el principio multiplicativo:
Total de formas n(n-1) (n-2) (n-3)… {n-(k-1)}… (2)1 = non
A la operación anterior se le llama el factorial de n y se representa por n!, entonces:
nPn =n!
La expresión anterior se lee: Permutaciones de n elementos tomados todos a la ves.
Ejemplo: Determinar de cuantas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas si hay 5 lugares.
Como una persona solo puede ocupar un solo lugar, el problema se refiere a ordenamientos sin repetición: 5P5 =5! = (5) (4) (3) (2) (1) =120 formas
Supongamos que en el ejemplo anterior solo hay tres lugares, entonces el número de formas diferentes es: Lugar 1 2 3
Posibilidades 5 4 3
La cantidad total es (5) (4)(3)=60 formas.
Si consideramos que tenemos n elementos los cuales se ordenan en k posiciones:
Posición 1 2 3 4… k
Posibilidades n n-1 n-2 n-3 n-(k-1)
El número total de formas es n(n-1)(n-2)(n-3)…{n-(k-1)}=nPk a esta operación se puede realizar con la siguiente formula:
Por definición 0!=1
Lo cual se lee: permutaciones de n elementos tomados de k a la ves
Para nuestro ejercicio
Ejemplo: Una persona tiene 6 libros diferentes de física y 4 libros de matemáticas, determine de cuantas maneras diferentes:
a) Puede acomodar solo los libros de Física
b) Si acomoda todo los libros a la vez
c) Si los libros de Física y Matemáticas deben estar juntos
Solución.
a) Si solo se consideran los libros de Física, son las permutaciones 6P6 = 6!= 720
b) Las formas diferentes tomando todos los libros a vez 10=10! = 3628800
c) Al considerar los libros en bloque, se obtienen las permutaciones de cada uno y luego se usa el principio multiplicativo, además como se pueden permutar los grupos entre si, se debe multiplicar por 2!: Libros de Física 6P6 = 6!= 720
Libros de Matemáticas 4P4 = 4!=24
Permutaciones Totales = 2(6P6) (4P4) = 2 (17280) = 34560
EJERCICIO No. 12
1. Una persona olvido su clave de acceso a un sistema de computadoras, la clave esta formada por 4 números, determina cuantas formas diferentes puede tener la clave si no se permite repetir los números.
2. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila, de cuantas formas se pueden acomodar si:
a) Pueden sentarse en cualquier lugar
b) Las mujeres y los hombres deben estar juntos
c) Los hombres deben estar en los sitios impares
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS NO TODOS DIFERENTES
En algunos tipos de CASOS A RESOLVER los elementos que se permutan no son diferentes entre si, por ejemplo consideremos el caso de determinar los números diferentes que se pueden formar con los números 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 tomándolos todos a la vez, obsérvese que al cambiar de lugar los números idénticos la cantidad formada no cambia, las formas diferentes de permutar los todos los números a la vez es 7! , pero hay que considerar las permutaciones de los elementos idénticos que son 2! (para los unos), 3! (para los dos) y 2! (para los tres), entonces el total de números diferentes es:
7,2,3,2,5,0,4,0,2,6,2,5,0,4,0,2,4,2,1,0, P,,!!!!( ) ( ) ( )=3272
En general cuando se permutan n elementos tomados todos a la vez y exciten grupos de elementos idénticos n1, n2 ,… , nk, las permutaciones diferentes son:
EJERCICIO No. 13
1. Se tienen 3 esferas rojas y 4 azules, determine de cuantas formas diferentes se pueden ordenar en una fila tomándolas todas a la vez, suponga que las esferas del mismo color no se pueden distinguir entre si.
2. Determine de cuantas maneras se pueden permutar las letras a, a, a, b, b, b, b, c, c tomándolas todas a la vez.
SELECCIÓN DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO: COMBINACIONES
0BJETIVO.- Calcular el número de posibles resultados de un experimento o seceso.
Cuando se seleccionan elementos de un conjunto sin importar el orden de aparición, se dice que se efectúo una combinación, supongamos que tenemos cuatro letras diferentes a, b, c, d y queremos seleccionarlas de dos en dos, las posibles selecciones son:
ab, ac, ad,
bc, bd, cd
Por lo que se podría representar como:
Para nuestro ejemplo:
EJERCICIO No. 14
1. De cuantas maneras se pueden seleccionar 3 personas de un grupo de 7.
2. De cuantas formas se pueden seleccionar 4 objetos de un conjunto de 10.
3. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿cuántas palabras pueden formarse, que contengan 4 consonantes y 3 vocales?, No es necesario que tengan sentido.
4. ¿En Cuantas formas puede un director de televisión programar seis diferentes comerciales de un patrocinador
1. Durante los seis periodos asignados a mensajes comerciales durante un especial de una hora
2. Si el patrocinador tiene tres comerciales distintos y cada uno de ellos se va a pasar dos veces
3. Si el patrocinador tiene dos comerciales distintos y cada uno de ellos se va a pasar tres veces.
5. El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre 10 ciudades. ¿En cuantas formas puede planearse este recorrido:
a) Si es importante el orden de las visitas?
b) Si no importa el orden de las visitas?
PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
• Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.
• Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.
