2.1.1 Operadores Booleanos
Un tipo de dato consiste en un conjunto de valores y un conjunto de operadores predefinidos en esos valores. Por ejemplo, en la aritmética entera los valores son (+, -, *, /). La selección de estos operadores es arbitraria en el sentido que otros operadores tales como ‘mod’ y ‘abs’ podrían ser adheridos al conjunto.
El cálculo proposicional esta relacionado con expresiones de tipo booleano el cual tiene dos valores denotados por T (verdadero) y F (falso).
En lógica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (T), y en computación a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas.
Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lógicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones ideterminadas.
Proposición lógica. Expresiones que pueden ser verdadera o falsa pero no ambas.
Proposición abierta. Una expresión que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se obtiene una proposición lógica.
Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de los dos definiciones anteriores.
Expresiones Booleanas. Proposiciones lógicas y proposiciones abiertas.
Ejemplo
| i) México está en América | Proposición Lógica | |
| ii) 1 < 2 | Proposición Lógica | |
| iii) Hoy es lunes | Proposición Abierta | |
| iv) x+3=5 | Proposición Abierta | |
| v) Ecosistemas | Frase | |
| vi) Buenos días | Frase | |
| vii) El 3 de abril de 1970 fué domingo | Proposición Lógica | |
| viii) Los cocodrilos pueden volar | Proposición Lógica | |
| ix) Las matemáticas son agradables | Proposición Abierta | |
| x) Esta expresión es falsa | Frase |
Combinando dos o más proposiciones se pueden formar expresiones compuestas con los operadores, estos operadores también se llaman conectivos lógicos:
La negación
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad
| p | ¬p |
| V | V |
| F | V |
Ejemplo. Encuentre la negación de las expresiones siguientes:
i) Júpiter es un planeta
ii) El pizarrón es verde
Solución:
i) Júpiter no es un planeta
ii) El pizarrón no es verde
Conjunción
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
| p | q | p^q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos
p ^ q, donde
p: la función es creciente
q: la función esta definida para los números positivos
Disyunción
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
| p | q | p v q |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdaera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Condicional
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:
| p | q | p→q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Bicondicional
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:
| p | q | p ↔ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
La bicondicional solo será verdadera cuando ambas proposiciones sean falsas o cuando ambas sean verdaderas.
En Resumen:
| x | y | ∧ | ∨ | → | ↔ |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
El número de de resultados posibles en una fórmula proposicional esta dado por la fórmula
| T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | F | F | F | F | F | F | F | F |
| T | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F |
Algunos de los operadores son triviales,
Los operadores interesantes son los que se muestran en la siguiente tabla:
| op | nombre | simbolo |
| disyunción | ∨ | |
| conjunción | ∧ | |
| condicional | → | |
| bicondicional | ↔ |
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