PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SOBRE NUMEROS COMPLEJOS.

Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces:

a) La condición necesaria y suficiente para que los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di sean iguales es que a = c y b = d.

b) Para sumar dos números complejos z1 + z2 se suman por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i

c) Para restar dos números complejos z1 - z2 se restan, por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a – c + (b – d)i

d) Para multiplicar dos números complejos z1z2 se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por −1.

z1z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

e) Para dividir dos números complejos , se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador

y se sustituye i2 por −1.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.

Ejemplo 1.4: z = (5 + 4i) + (3 + 2i) = 5 + 3 + (4 + 2)i = 8 + 6i

z = (−6 + 2i) + (4 – 5i) = −6 + 4 + (2 – 5)i = −2 – 3i

Ejemplo 1.5: z = (3 + 2i) – (5 – 3i) = 3 – 5 + [2 – (−3)]i = - 2 + 5i

z = (−1 + i) – (−3 + 2i) = −1 – (−3) + (1 – 2)i = 2 – i

Ejemplo 1.6: z = (5 +3i)(2 – 2i) = (5)(2) – (3)(−2) + [(5)(−2) + (3)(2)]i

= 10 + 6 +(−10 + 6)i

= 16 – 4i.

z = (−3 +2i)(−6 + 2i) = (−3)(−6) - (2)(2) + [(−3)(2) + (−6)(2)]i

= 18 – 4 + (−6 −12)i

= 14 – 18i

Operaciones Fundamentales Números Complejos

• Representación Binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + ib

a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:

Z = 3 + 4i

a = Re (z) = 3

b = Im (z) = 4

• Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

• (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único de ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

• Numero complejos conjugados

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. Basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.

  • En Forma de pares ordenados:

Si Z = (a, b) Entonces: = (a, -b)

El conjugado de un complejo z (denotado como ó) es un nuevo número complejo, definido así:

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Ejemplo: Z = 3 + 4 i

= 3 – 4 i

= numero complejo conjugado

• Adición de numero complejos

La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1, x2), (x3, x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.

O sea: (x1, x2) + (x3, x4) = (x1 + x3, x2 + x4).

En Forma Binómica:

Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.

Ejemplo:

  • Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i

Z1 + Z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

(2 - 3i) + (−3 + i) = (2 - 3) + i (−3 + 1) = −1 - 2i

(−3 + i) + (2 - 3i) = (−3 + 2) + i (1 - 3) = −1 - 2i

• Sustracción de números complejos

Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así:

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)

Es decir, restar Z2 de Z1, es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.

Si Z1 = (x, y) & Z2 = (a, b)

Entonces:

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2) = (x, y) + (-a, -b) = (x - a, y - b).

En forma Binómica:

Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces:

Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b) i.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i

• Multiplicación de números complejos

Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = −1. Al final se reducen términos semejantes.

La multiplicación puede hacerse más directamente observando que:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

ac + (ad + bc) i + bd (−1) = (ac - bd) + (ad + bc)i

  • En forma de pares ordenados:

Sean Z1 = (a, b) y Z2 = (x, y) dos números complejos, entonces, por definición: Z1 ∙ Z2 = (a, b) ∙ (x, y) = (a ∙ x - b ∙ y, a ∙ y+b ∙ x).

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i

k (a + bi) = ka + kbi

• División de un numero complejo

Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por −1.

Si a + bi ¹ 0, entonces:

c + di (ac + bd) + (ad – bc) i

–––––– = –––––––––––––––––––––––

a + bi a 2 + b 2

tec de saltillo

Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:

  • Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.

pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.

  • En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
  • Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.

pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.

  • PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
  • Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
  • Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.

  • Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.

pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.

pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.

  • Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
  • Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.

pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.

pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

  • Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
  • PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
  • Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

  • Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:

  • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

  • Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en Youtube.

2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

  • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
  • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
  • Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.

Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.