Operaciones Con Funciones Y Composicion De Funciones

Operaciones Con Funciones Y Composicion De Funciones

Operaciones Con Funciones

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones.

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado. Por ejemplo: f actua sobre “x” para producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se representa g(f(x))

Definición.

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones: i. SUMA: ii. DIFERENCIA: iii.PRODUCTO: iv. COCIENTE:

NOTA: En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

v. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la “compuesta de f y g”.

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier xA mediante f, y luego obtener la imagen de f(x)B mediante g

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fig. 13.

Definción.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:

g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces

Del ejemplo anterior se deduce facilmente que en general:

(g o f)(x) ¹ (f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )

Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(−1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(−1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:

P(x) = (g o f)(x) siendo y

P(x) = (g o f)(x) siendo y

En efecto, en el primer caso, y, en el segundo.


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